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Ich brauche eure Hilfe um folgende Aufgabe zu lösen:


Es seien Vektoren s, v aus R gegeben, wobei s ungleich 0 gelte.


(a.1) Bestimmen Sie Lambda aus R derart, dass der Vektor $$v_{1}:=v- λs$$ orthogonal zu s ist.

(a.2) Zeigen
Sie zusätzlich, dass der Vektor $$ v_{2}:=λs$$

höchstens so lang wie der ursprünglicher


Vektor v ist, d. h. $$\Vert v_{1}\Vert\leq \Vert v\Vert$$
(b) Berechnen Sie explizit die Zerlegung v = v1 + v2 aus Teilaufgabe (a) für die beiden
Vektoren s = (1;-2; 1; 3) und v = (4;-4; 8; 4) des $$  \mathbb{R}^{4}$$


Zur (a.1) habe ich mir bisher folgendes überlegt:

$$\text{Sei s,v }\in  \mathbb{R}  \text{ und } s \neq 0 \text { und v1 definiert als } v_{1}:=v- λs \\ \text{Gesucht Sei λ aus } \mathbb{R} \text{ für dass gilt: } s\perp v_{1} \\ \text{Beweis:} \\\langle s,v_{1}\rangle =0 \\\langle s,v- λs\rangle =0 \\\langle s(v-λs)\rangle=0 \\\langle sv\rangle\langle-λss\rangle=0 \ \\λ=\frac{\langle sv  \rangle}{\langle ss \rangle}$$


Ist meine Beweisführung richtig? Falls nicht könnt Ihr mir den Ansatz liefern was ich genau machen muss?  
Aufgabe (a.2) verstehe ich nicht ganz wie ich es beweisen muss
Aufgabe (b) verstehe ich auch nicht, was genau von mir verlangt wird. (Muss ich jetzt  Lambda explizit für v1, v2 bestimmen oder komplett was anderes machen? Eine Hilfestellung wäre extrem Hilfreich!

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Hallo greycardinal,

Ist meine Beweisführung richtig?

Ja - nur eine kleine Ungenauigkeit in der vorletzten Zeile: \(\langle sv\rangle-λ\langle ss\rangle=0\) das Minuszeichen muss zwischen den Skalarprodukten stehen.

Aufgabe (a.2) verstehe ich nicht ganz wie ich es beweisen muss

Vektoren haben den Vorteil, dass qualitative Betrachtungen unabhängig von der Anzahl der Dimensionen sind. Also skizziere ich das Szenario mal in 2D

Untitled2.png

dort siehst Du u.a. den (schwarzen) Vektor \(v_2 = \lambda s\). Schon in dieser Zeichnung ist offensichtlich zu sehen, dass \(v_2\) nie länger als \(v\) (grün) werden kann. \(v_2\) bildet die Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck, in dem \(v\) die Hypotenuse ist.

Rechnerisch kann man es mit Hilfe von folgendem Zusammenhang zeigen: \( \langle a, b \rangle = \|a\| \|b\| \cos \alpha \). Wobei \(\alpha\) der Winkel (gelb) zwischen den beiden Vektoren ist. Es ist $$\begin{align} \|\lambda s\| &= \left\|\frac{\langle sv\rangle}{\langle ss\rangle} s\right\| \\ &= \left\| \frac{\|s\| \|v\| \cos \alpha}{\|s\| \|s\|} s\right\| \\ &= \left\| \frac{\|v\| \cos \alpha}{\|s\|} s\right\| \\ &= \|v \cos \alpha\| \le \|v\| \end{align}$$ da der Betrag des Cosinus immer \(\le 1\) und \(s / \|s\|\) ein Einheitsvektor mit der Länge 1 ist.


Aufgabe (b) verstehe ich auch nicht, was genau von mir verlangt wird. (Muss ich jetzt  Lambda explizit für v1, v2 bestimmen oder komplett was anderes machen?

Ja - Du sollst \(v_1\) und \(v_2\) berechnen. Einfach in die Terme oben einsetzen $$\langle s,v \rangle = 32 \\ \langle s,s\rangle = 15 \\ \implies \lambda = \frac{32}{15}$$ $$v_2 = \lambda s = \frac{32}{15} \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 3\end{pmatrix} \\ v_1 = v - v_2 = \begin{pmatrix}4\\ -4\\ 8\\ 4\end{pmatrix} - \frac{32}{15} \begin{pmatrix}1\\ -2\\ 1\\ 3\end{pmatrix} $$

Beantwortet von 14 k

Ich möchte Ihnen herzlich Danken.


Ihre Hilfestellung hat mir hier in dieser Aufgabe sehr geholfen und einige unklarheiten bereinigt welche ich zuvor noch hatte!

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