Komplexe Zahl in z=x+iy (Normalform) bringen

Question

$$ \sqrt { \frac { 1 } { 2 } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } i } $$ in die Form \( x + \text { iy } x , y + ℝ \) bringen.

Ich weiß, dass man die komplexe Zahl mithilfe der Euler-Formel darstellen kann, um diese dann zu radizieren und anschließend wieder in die Normalform zu bringen. Nur hatten wir in der Vorlesung bis jetzt nur die komplexen Zahlen in Polarkoordinaten und in der Normalform. Kann ich diese Aufgabe mit meinem jetzigen Wissenstand überhaupt lösen?

Answer 1

Du suchst ja x,y mit  (x+iy)^2 = 1/2 - √3 / 2 * i

==>  x^2 - y^2  + 2xy i = 1/2 - √3 / 2 * i

==>  x^2 - y^2 = 1/2  und   2xy = - √3 / 2

                                    also  (da offenbar y ≠ 0 )

                                            x =  - √3 / (4y)

                                     beim 1. einsetzen

==>  3 / (16y^2 ) - y^2 = 1/2

         3      -   16y^4 = 8y^2

-16y^4 - 8y^2 + 3 = 0

substituiere y^2 = z und erhalte y=±1/2

und mit    x =  - √3 / (4y)  dann x = ± √3  / 2

also sind die Lösungen

√3  / 2  - 1/2 * i    und   -√3  / 2  + 1/2 * i .

Answer 2

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Answer 3

Euler Form ist fast dasselbe wie die Polarform, nur kürzer dargestellt.

Du kannst die Aufgabe also so lösen

Alternative :

z=x+iy = sqrt(...)

Quadrieren

x^2-y^2+i*2xy=1/2-isqrt(3)/2

Vergleiche Real und Imaginärteil auf beiden Seiten, löse das entstehende Gleichungssystem.