Beweis mit vollständiger Induktion: Goniometrische Identität 2 sin (x/2) * cos(nx) = sin((n+1/2)x - sin …

Question

ich weiß nicht wie ich folgendes beweisen soll:

Es soll für alle x ∈ IR folgendes gelten:

sin ((n+1/2)x) - sin ((n-1/2)x) = 2 sin \( \frac{x}{2} \) * cos (nx)

Was muss ich mit dem nx machen? Ich würde jetzt sagen ich fange bei n=0 an und setze das ein.

Dann komme ich bei der linken Seite auf 0. Und bei der rechten weiß ich es nicht. Brauche ich überhaupt die vollständige Induktion hier?

Answer 1

Hallo

 keine Induktion einfach das Additionstheoren for sin(a+b) und sin(a-b)

Gruß lul

Comments

Könnte man auch mit einer Induktion etwas machen? Nur so aus Neugierde?

Answer 2

"Dann komme ich bei der linken Seite auf 0."

Da hast du dich bereits verrechnet.

sin(-x)=-sin(x), also ist -sin(-x)=+sin(x)

" Brauche ich überhaupt die vollständige Induktion hier?"

Für die Differenz zweier Sinuswerte gibt es eine Formel. Sie steht in jeder gut sortierten Formelsammlung. Finde sie und teste, ob sie hilft.

Comments

Ich habe sin(1/2x) - sin (-1/2x)

Für die Formel bräuchte ich sin (1/2x) - sin (1/2x)

Wie kann ich dies einsetzen?

Die Formel: sin(x) - sin(x) = 2*cos x1+x2/2 * sin x1-x2/2

Habe ich gefunden.

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Ok hab jetzt verstanden worauf du hinaus wolltest. Ich melde mich wenn ich wieder Hilfe brauche aber bis jetzt siehts ganz gut aus.

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Du wirfst hier zwei Dinge durcheinander.

"Ich habe sin(1/2x) - sin (-1/2x)".

Damit erhältst du auf der linken Seite des Induktionsanfangs

sin(1/2x) - sin (-1/2x) = sin(1/2x) + sin (+1/2x) =2*sin(1/2x) (und nicht ,wie von dir behauptet, 0).

Jetzt zu dem "für die Formel brauche ich...":

Das, was hier in meinem Kommentar in den ersten 4 Zeilen steht, hat mit der zweiten Variante, die (vielleicht) ohne Induktion funktioniert, NICHTS zu tun

sin ((n+1/2)x) - sin ((n-1/2)x)  ist die Differenz von zwei Sinuswerten, und auf DIESE Differenz kann die Formel aus der Tabelle angewendet werden. Ob es eine Vereinfachung (Induktion eventuell unnötig) bringt, musst du herausfinden.