Fibonacci abgeändert: Vollständige Induktion für a_n = 1/√5(((1+√5)/2)n+1 - ((1-√5)/2)n+1)

Question

Für eine abgeänderte Form der Fibonacci-Folge soll gelten, dass bereits für a₀=1 gilt.

Hierfür ist dann noch folgende Gleichung gegeben :

a_n+1 = a_n + a_n-1.

Nun soll die folgende Gleichung bewiesen werden:

$a_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}} · \left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n+1}\right)$

Ich dachte hierbei an vollständige Induktion, bin mir aber nicht sicher wie genau das hier zu bewerkstelligen ist.

Comments

a1 müsste ja auch vorgegeben sein. Ein einziger Startwert genügt hier nicht.

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Die gesamte Fragestellung bezieht sich ja auf die Fibonacci Folge, sprich auf folgende Tabelle:

a0	a1	a2	a3	a4
1	1	2	3	5

usw.

Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/22161/beweis-einer-formel-zu-den-fibonacc…

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Vollständige Induktion für die abgeänderte Fibonacci-Folge

Um zu beweisen, dass die gegebene Gleichung für alle $n$ gilt, verwenden wir die Methode der vollständigen Induktion.

Induktionsanfang:

Wir beginnen mit $n = 0$.

$a_{0} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{0+1} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{0+1}\right)$

Da beide Exponenten $1$ sind, vereinfacht sich das zu:

$=\frac{1}{\sqrt{5}} \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2} - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)$

$=\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \sqrt{5}$

$=1$

Das stimmt mit der Vorgabe $a_{0} = 1$ überein.

Induktionsvoraussetzung:

Nehmen wir an, dass die Gleichung für ein beliebiges, aber festes $n = k$ gilt, also:

$a_{k} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k+1} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k+1}\right)$

Und auch für $n = k - 1$:

$a_{k-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k}\right)$

Induktionsschluss (zu zeigen):

$a_{k+1} = a_{k} + a_{k-1}$

$a_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k+1} + \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k+1} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k} \right)$

Wir nutzen die Formel für die Summe einer geometrischen Reihe, um die Summe zu vereinfachen:

$a_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k} \left(1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k} \left(1 + \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) \right)$

Beachten Sie, dass $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ und $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ die Lösungen der Gleichung $x^2 = x + 1$ sind. Also:

$1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} + \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^2,$

und analog für $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$:

$1 + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^2.$

Einsetzen in die obige Gleichung liefert:

$a_{k+1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \left(\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^{k+2} - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^{k+2} \right).$

Damit haben wir gezeigt, dass, wenn die Gleichung für $n = k$ gilt, sie auch für $n = k + 1$ gilt.

Da der Induktionsanfang bewiesen wurde und der Induktionsschritt für ein beliebiges $k$ gültig ist, folgt nach dem Prinzip der vollständigen Induktion, dass die gegebene Gleichung für alle $n \geq 0$ gilt.