Du hast da schon ganz vernünftig angefangen und willst
ja wohl zuerst beweisen : M∩N=N ==> M⊆N
Dazu kannst du ja : M∩N=N voraussetzen.
Und muss jetzt begründen: M⊆N
Das geht ja logisch so:
Wenn ein x Element von M ist, dann auch von N. #
Dazu fängst du am besten so an: Sei x∈M
wegen M∩N=N also auch x∈M∩N .
Dein Argument "Da M eine Teil... "
darfst du nicht verwenden, das willst du ja gerade beweisen.
Aber aus x∈M∩N kannst du folgern (wie geschehen)
x∈M und x∈N
Und weil bei einer "und"-Verbindung beide Aussagen
wahr sind, hast du x∈N. Damit ist # bewiesen.
Für den geforderten Nachweis der Äquivalenz der drei Aussagen
musst du jetzt natürlich noch den Rest beweisen, etwa
M ∪ N = N ==> M⊆N und
entweder M⊆N ==> M ∪ N = N
oder M⊆N ==> M ∩ N=N
