Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N die Ungleichung n^{3}≥ 2n^{2} − 1 gilt

Question

Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N gilt
n³≥ 2n² − 1.

Ich liege zur Zeit mit einer Grippe flach, und habe deshalb fast kein Kopf für Mathe.  Muss dennoch diese Aufgabe lösen. Könnte mir jemand die Formale Lösung dieser Aufgabe sagen?

Answer 1

Ein Fall für die vollständige Induktion. Die Ungleichung gilt für n=1.

Im Induktionsschritt schreibst du (n+1)³ als n³ +(3n²+3n+1), während du 2(n+1)² als n²+(n²+4n+2) schreibst.

Zeige nun, dass der linke Zuwachs (3n²+3n+1) stets größer ist als der rechte Zuwachs (n²+4n+2).

Answer 2

Du könntest auch erst mal die Einschränkung n Element N weglassen und die Gleichung lösen. (Schnittstellen bestimmen)

https://www.wolframalpha.com/input/?i=n%5E3+%3D+2n%5E2+−+1

Nun von hier aus argumentieren, warum die Behauptung für alle n Element N gilt.

Answer 3

die gesuchte Ungleichung ist äquivalent

zu

n^3/(2n^2-1)>=1

Und das stimmt für n element N, denn

n^3/(2n^2-1)>=n^3/(2n^2-n^2)

=n^3/n^2=n>=1

Answer 4

n^{3} ≥ 2n^{2} - 1

n^{3} - 2n^{2} + 1 ≥ 0

(n - 1) * (n^2 - n - 1) ≥ 0

Für n=0 sind beide Faktoren auf der linken Seite negativ, für n=1 sind beide Seiten der Ungleichung 0 und für n≥2 sind beide Faktoren der linken Seite positiv.

Dies ist zumindest eine einfache Möglichkeit, die Behauptung zu beweisen.