Zeigen Sie für n ∈ N , n ≥ 2 die Ungleichung mit Binomialkoeffizient (2n tief n)

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie für \( n \in \mathbb{N}, n \geq 2 \)

a) \( \frac{2 n+1}{(n+1)^{2}} \geq \frac{2}{n+2} \)

b) \( \left(\begin{array}{l} {2 n} \\ {n} \end{array}\right) \geq \frac{4^{n}}{n+1} \)

Answer 1

(2n+1)/(n+1)^2 ≥ 2/(n+2)              |*Hauptnenner (Faktoren sicher > 0) 

(2n+1)(n+2) ≥ 2(n+1)^2            |ausmultiplizieren

2n^2 + n + 4n + 2 ≥ 2n^2 + 4n + 2         |-2n^2 - 4n -2

n ≥ 0

Da n ≥ 2, gilt die 4. Zeile.

Um den Beweis logisch aufzubauen:

mit n ≥ 0 beginnen und die Zeilen von hinten her bis zur Ungleichung hinschreiben.

Kommentare folgendermassen:

1. Schritt |+ 2n^2 + 4n + 2

2. Schritt |faktorisieren

3. Schritt |Division durch ( (n+1)^2 * (n+2))

neben der 1. Ungleichung: qed.

Bei b) solltet ihr wohl auf  eine auch bekannte Formel zu den Binomialkoeffizienten aus dem Skript zurückgreifen.

Beachte 4^n = 2^{2n}

Schaut das Ungleichheitszeichen bei b) in die richtige Richtung?

Comments

Da wir die Aufgabenstellung aus dem Dokument kopiert und dann hier eingefügt haben, gehen wir mal von der Richtigkeit aus. Es wurde bisher auch nicht revidiert.

Zum Skript: der Binomialkoeffizient wurde definiert, plus drei Eigenschaften:

a) (n über 0) =1= (n über n)

b) (n über k) = (n über n-k), für 0≤k≤n

c )( n+1 über k+1) = (n über k) + (n über k+1), für 0≤k≤n

Es wurde zudem das Pascalsche Dreieck eingeführt.

Aus a) und b) lassen sich die Binomialkoeffizienten rekursiv über das Pascalsche Dreieck konstruieren.

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Meine Nummerierung Pascaldreieck:

1. Zeile 1 1          Summe 2

2. Zeile 1 2 1       Summe 2^2

3. Zeile 1 3 3 1              Summe 2^3

4. Zeile 1 4 6 4 1    Summe 2^4

Zeile Nr. k im Pascaldreieck besteht aus k+1 Elementen. Summe der Elemente ist 2^k

Zeile Nr. 2n                                                    2n+1 Elementen. Summe ist 2^{2n} = 4^n

(2n tief n) steht in der Mitte der Zeile und ist die grösste Zahl der Zeile.

Behauptet wird nun, dass (2n tief n) ≥ (Summe aller Elemente der Zeile 2n) / (Hälfte der Elemente der Zeile+ 0.5)