Höchste Augenzahl beim n-fachen Wurf eines Würfels

Question

Aufgabe:

Es wird der n-fache Wurf eines fairen Würfel betrachtet.
Die Zufallsvariable X_n bezeichnet die höchste geworfene Augenzahl.

a) Bestimmen Sie abhängig von n ∈ ℕ die Wahrscheinlichkeit ℙ(X_n ≤ k) für k=1,...,6

b) Berechnen Sie den Erwartungswert X_n.

c) Zeigen Sie, dass lim_n→∞ Ε(X_n) = 6.

Problem/Ansatz:

die Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen.
Bei a) könnte man sicherlich die Wahrscheinlichkeiten "zu Fuß" berechnen, aber das ist ziemlich aufwendig und ich denke mal, dass es auch einfacher geht? Wir sind zur Zeit bei der Binomialverteilung, aber ich kriege diese hier nicht richtig angewendet.

b) kann man ja gut berechnen sofern man a) hat.

Und zur c) hab ich leider auch noch keine Idee.

Würde mich über Hilfe freuen.

Beste Grüße!

Answer 1

b) und c) beruhen darauf, dass du bei a) eine Ahnung hast. Was kannst du tun um diese Ahnung zu bekommen?

Bei a) könnte man sicherlich die Wahrscheinlichkeiten "zu Fuß" berechnen, aber das ist ziemlich aufwendig und ich denke mal, dass es auch einfacher geht?

Für sehr große n wäre das nicht ratsam aber was spricht dagegen es mal für kleine n zu machen und die Erfahrungen, die du dabei sammelst auf große n anzuwenden.

Sicher könnte ich dir einfach die Lösung geben. Aber du warst eigentlich schon auf dem richtigen Weg es selber zu entdecken. Du warst nur zu faul es zu machen.

Comments

Ich habe die Wahrscheinlichkeiten für n=1, 2 und 3 (bei n=3 nur bis k=3) nun konkret ausgerechnet. Auch wenn es etwas gedauert hat, habe ich nun die Systematik entdecken können.

Um wirklich zu beweisen, dass ich die korrekte Formel gefunden habe, müsste ich vermutlich mit Induktion arbeiten, oder?

b) und c) waren, wie Du schon geschrieben hast, nur noch "Rumspielerei" mit der Formel aus a).

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Die Formel beruht doch einfach auf den Gesetzen der Kombinatorik bzw. den Pfadregeln. Wenn du die anzweifelst kannst du sie natürlich gerne nochmals beweisen.

Du kannst natürlich auch die vollständige Induktion nehmen um die Formel zu beweisen.

Der Vollständigkeit halber könntest du deine erkannte Gesetzmäßigkeit und Ergebnisse hier veröffentlichen.