Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Question

ich habe Probleme diese Folge auf Konvergenz zu untersuchen.

  a_n = ( 2n / (2n+1) )^8n-1

Der Grenzwert ist e^-4.

Ich kann aber im Beweis aus n>= .. die Zielungleichung | a_n - e^-4 | <= eps nicht zeigen. Und weiss auch nicht wie man danach die Untersuchung fortführen muss.

Comments

Darfst du die eulersche Zahl e als Grenzwert von (1 + 1/n)ⁿ nicht als bekannt voraussetzen?

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Hallo

 setze 2n=m

dann hast du (1/(1+1/m)^m)⁴*1/(1+1/m)^-1

Gruß lul

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Wie genau kommt man damit zum Epsilon?

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Hallo

 mit deinem Lu' s Argument natürlich(;-

Gruß lul

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Hallo lul,

ich habe nicht ganz gut verstanden, warum ich 2n=m setzen soll. Beim Aufgabe muss ich die Konvergenz der Folge mit der Definition untersuchen:

 ∀ ε > 0  ∃ n_ε ∈ ℕ : ∀ n ≥ n_ε    | a_n - a | ≤ ε

wo a der Grenzwert kennzeichnet (also e ^-4).

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Hallo

 ich gehe eben davon aus, dass ihr die Konvergenz von (1+1/n)ⁿ gezeigt habt.

Gruß lul

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Diese Aufgabe musst du ganz sicher

nicht mit dem epsilon-delta-kriterium lösen.

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11. Gebot:

Du sollst nicht mit Kanonen auf Spatzen schießen, außer der Dozent verlangt es.

In diesem Fall würde ich den Dozenten vor die Kanone setzen und ihn mit zu den Spatzen abfeuern. :)

Answer 1

Hallo Diana, siehe mein Bild.  Kannst du mir folgen?

Comments

Vielen Danke RomanGa! Jetzt ist mir klar. Ich habe aber noch einen Zweifel:

reicht das um die Konvergenz von a_n zu untersuchen?

Oder soll ich die Konvergenz von a_n auch mit der Definition zeigen (also |a_n - e ^-4|≤ ε)?

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Hallo Diana.
(a)  Wenn man den Grenzwert berechnet hat, muss man nicht auch noch seine Existenz beweisen.
(b)  Deine Frage läuft darauf hinaus, zu zeigen
(1+1/n)ⁿ – e <= ε  =>  n>…
Das lässt sich schlecht nach n auflösen, da muss ich passen.
(c)  Wie kann man zeigen, dass (1+1/n)ⁿ konvergiert?  Da habe ich einen Beweis aus einem Buch.  Sag mir, wenn ich das einscannen soll.  Ist aber in eurer Aufgabe nicht verlangt.