Aufgabe:
Gegeben sind folgende Metriken auf C:
$$d(x,y)=|x-y|$$
$$d'(x,y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|}$$
$$d"(x,y)=min\{ |x-y|,1 \}$$
$$Untersuchen \space sie, \space wie \space die \space \epsilon-Kugeln \space aussehen.$$
Problem/Ansatz:
Wie skizziert man denn die Epsilon-Kugeln ueberhaupt?
Eine (offene) Epsilon-Kugel ist ja definiert als:
$$B_\epsilon(x)= \{ y \in X | d(x,y) < \epsilon \}$$
Mal angenommen, ich setze für die obige Aufgabe d(x,y) x=0, dann bekomme ich ja:
$$B_\epsilon(0)= \{ y \in C | \space |x-y|=|0-y|=|-y| < \epsilon \}$$
Jetzt setze ich beispielsweise mal Epsilon=1, was bekomme ich dann? Einen Kreis mit Radius 1 oder eine Linie entlang der imaginaeren Achse zwischen 1 und -1 (denn mein Realteil ist ja 0)?
Analog für d'(x,y) bekomme ich ja:
$$ B_\epsilon(0)= \{ y \in C | \space \frac{|-y|}{1+|-y|} < \epsilon \} $$
Auch hier: Wenn ich mein Epsilon=1 setze, was bekomme ich? Ganz C (die Ungleichung ist ja naemlich immer erfuellt)?
Ich bin leider von den metrischen Raeumen ziemlich verwirrt. Ueber Hilfe wuerde ich mich sehr freuen.
