7.3 a) Zeigen Sie, dass \( d_{\infty} \) eine Metrik auf \( \mathcal{C}^{0}([a, b], \mathbb{R}) \) ist. Dabei ist
\( d_{\infty}(f, g):=\max \{|f(x)-g(x)| \mid x \in[a, b]\} \text { für alle } f, g \in \mathcal{C}^{0}([a, b], \mathbb{R}) \)
4 Punkte
b) Es sei \( \left(f_{n}\right) \) eine Cauchy-Folge in \( \left(\mathcal{C}^{0}([a, b], \mathbb{R}), d_{\infty}\right) \). Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}\right) \) eine Grenzfunktion \( f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} \) hat.
2 Punkte
7.4 a) Es sei \( \left(f_{n}\right) \) eine Cauchy-Folge in \( \left(\mathcal{C}^{0}([a, b], \mathbb{R}), d_{\infty}\right) \). Zeigen Sie, dass \( \left(f_{n}\right) \) gegen die in 7.2.b) gefundene Grenzfunktion \( f:[a, b] \longrightarrow \mathbb{R} \) gleichmäßig konvergiert.
2 Punkte
1
b) Zeigen Sie, dass \( \left(\mathcal{C}^{0}([0,1], \mathbb{R}), d_{\infty}\right) \) vollständig ist.
Hinweis: Sie dürfen a) benutzen, auch wenn Sie a) nicht zeigen konnten. 1 Punkt
c) Wie sehen die \( \varepsilon \)-Kugeln in der Taxi-Metrik aus? (Skizze)
1 Punkt
d) Wir können im Euklidischen Raum \( \mathbb{R}^{n} \) mit der Standardmetrik die Strecke zwischen zwei Punkten \( A, B \in \mathbb{R}^{n} \) über die Metrik definieren:
\( \overline{A B}:=\left\{P \in \mathbb{R}^{n} \mid d(A, P)+d(B, P)=d(A, B)\right\} \)
Wie sehen mit dieser Definition Strecken im \( \mathbb{R}^{2} \) mit der Taximetrik aus? Skizzieren Sie alle relevanten Fälle.
2 Punkte
Meine Lösung. Stimmt das?
Text erkannt:
a) \( \forall f, g \in C^{\circ}([a, b], \mathbb{R}) \) gitt:
1. Positivitati: \( \quad d_{\infty}(j, s) \geqslant 0 \quad \) (da \( |y(x)-g(x)| \geq 0, x \in[a, b] \)
Acysteden
\( \begin{array}{l} \alpha_{\infty}(j, y)=0 \Leftrightarrow|j(x)-g(x)|=0 \text { für } x \in[a, l] \\ \Rightarrow j=g \quad \checkmark \end{array} \)
2. Symmetrie
Betigs \( |x| \geqslant 0 \)
\( |f(x)-g(x)| \stackrel{\downarrow}{=}|g(x)-g(x)| \Rightarrow d_{\infty}\left(f(g)=d_{\infty}(g, f)\right. \)
3. Dréedes worglailmy
\( \begin{array}{l} \text { Fir } g \cdot g, h \in c^{0}([a, e], \mathbb{R}) \text { git punutwe'ie: } \\ \begin{aligned} \mid g(x|-h(x)| & =|g(x)-g(x)+g(x)-h(x)| \\ & \leq|g(x)-g(x)|+|g(x)-h(x)| \end{aligned} \end{array} \)
Nimmer wan das Maximum übu \( x \in[a, b] \), jol, \( t \)
\( d_{\infty}(j, u) \leqslant d_{\infty}(g, g)+d_{\infty}(s, h) \)
\( \Rightarrow \) Funktion do ufült alle die Axiome eine Metrik \( \left(C^{0}([a, l], R), d_{\infty}\right) \) ist metrischer Zaum
Text erkannt:
b) geg: \( \left(g_{u}\right) \subset C^{0}\left(\left[a_{1} b\right], R\right) \) ist couly-Folge yzgl. \( d_{\infty} \)
\( \text { d.h. } \forall \varepsilon>0 \quad \exists N \in \mathbb{N}: \forall m, n \geq N \Rightarrow d_{0}\left(j u_{1} / m\right)<\varepsilon \)
d.h. \( \sup _{x \in[a, b]}\left|f_{u}(x)-f_{m}(x)\right|<\varepsilon \Rightarrow g \mid m \). Cauhy-Folge
Dann silt :
Es exitiest elle Funltion \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( j_{n} \xrightarrow[l_{n \rightarrow \infty}]{s^{\prime}} \delta \)
Der Grenzwet eive gledenüpis Kanngerten Folse Stetige Fut. ist stetij: \( j \in C^{0}([a, e], \mathbb{R}) \)
\( \Rightarrow \) Jede canhy-Folje in ( \( \left.C^{0}([a, l], \mathbb{R}), d_{\infty}\right) \) busiter eine greatgut. in dierm Ranm
Text erkannt:
a) Wir wirlom, dasi
\( \left(\gamma_{n}\right) \) is cauly-Folge is \( \left.d_{\infty} \rightarrow \gamma_{n} \rightarrow{ }_{n \rightarrow \infty}\right] \) slm. ang \( [a, b \),
Das golst direht ans
\( d_{\infty}\left(f_{n}, y\right)=\sup _{x \in[a, b]}\left|g_{n}(x)-y(x)\right| \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0 \)
ES silt:
\( \forall \varepsilon>0 \quad \exists N \in \mathbb{N} \quad \forall u=N, \forall x \in[a, b] \Rightarrow\left|g_{u}(x)-g^{\prime}(x)\right|<\varepsilon \)
\( \Rightarrow(j u) \) houvergiet gim. gesen \( \gamma \)
b) Jolgt unmittelbar and (a) 4. (7.3)
- Jede courchy-Folge botitet einen Grenzwet in \( C^{\circ}([a, b, R) \)
- Grenzfut. ist wieds stetis
Deg. a Vollstandigheit eines wetrishen Roums ajgüt
\( \Rightarrow \) Laum ist vollständ,
c) Die Taximetrin ang \( \mathbb{R}^{2} \) ist:
\( d_{T}\left(\left(x_{1}, x_{2}\right)_{1}\left(y_{1}, y_{2}\right)\right)=\left|x_{1}-y_{1}\right|+\left|x_{2}-y_{2}\right| \)
Die \( \varepsilon \)-kujel \( U(p, \varepsilon) \) ist die Menje aller Punkic mit
\( \left|x_{1}-p_{1}\right|+\left|x_{2}-p_{2}\right|<\varepsilon \)
Geovertrich ugibt dar cine Rante (Quadiat wir Diogornlen) parallel 20 den Achien
\( \Rightarrow \) E-lengeln in Taximetrik sind Routen wit Mittepmurs and Abstand \& in jedr Koodivaternichtem,
Text erkannt:
d) Def. \( \quad \overline{A B}:=\left\{P_{B} \mathbb{R}^{2} \mid d_{T}(A, P)+d_{T}(P, B)=d_{T}(A, B)\right\} \) Minje alles Punkte nit minimates Abstand bu A unch is 131p: Van \( A=(0,0) \) had \( B=(2,2) \) :
nigl. Zwislapondite: 7.13. \( (0,1),(1,1),(2,0) \)
Strecke betteld ans einer gauters Marje won bitterwejen, nicht wur der Geradenverbindeng
