Cauchy-Produkt einer Reihe mit sich selbst bilden

Question

Aufgabe:

Bilden sie das Cauchy-Produkt der Reihe  \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\frac{4ⁿ}{5ⁿ}} \)  ( \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{n\frac{4n}{5n}} \) nur n im Zähler und Nenner hochgestellt. Lässt sich aber nicht richtig darstellen)

Problem/Ansatz:

Meine Lösung für das Cauchy-Produkt ist \( \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} \)  \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5k}{5k}•\frac{4n-k}{5n-k}} \) (Die k bzw. n-k im Nenner und Zähler sind wieder hochgestellt, jedoch lässt es sich nicht richtig anzeigen (so wäre es richtig \( \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{5^k}{5^k}•\frac{4^n-k}{5^n-k}} \)). 

Die Lösung ist entstanden indem ich die Cauchy-Produkt-Formel darauf angewandt habe. Mein Problem ist das ich mir nicht vorstellen kann was da passiert und warum. Daher weiß ich auch nicht ob die Lösung richtig ist.

Comments

Ist das \(\displaystyle\sum_{n=1}^\infty n\frac{4^n}{5^n}\) die Reihe?

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Ja, das ist sie. Bei mir hat die darstellung so nicht geklappt. Warum weiß ich nicht.

Answer 1

Sei \(a_n=n\cdot q^n\) mit \(q=\frac45\). Allgemein lautet das Cauchy-Produkt einer Reihe mit sich selbst$$\quad\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^\infty a_n\right)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^na_k\cdot a_{n-k}$$$$=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^nk\cdot q^k\cdot(n-k)\cdot q^{n-k}$$$$=\sum_{n=0}^\infty q^n\cdot\sum_{k=0}^nk\cdot(n-k)$$$$=\sum_{n=0}^\infty\frac{(n-1)\cdot n\cdot(n+1)}6\cdot q^n.$$