Mittelwertsatz-Beispiel erklären

Question

könnte jemand das Schema des Mittelwertsatzes anhand eines Beispiels erklären?

Ist die erste Aufgabe und weiß nun nicht, wie ich die nun angehen soll bzw. was ich tun muss.

Die grundlegenden Dinge (Sekante zwischen zwei Punkten und parallele Tangenten) habe ich schon herausgefunden - ein von Grund auf erklärtes Beispiel mit den Punkten, was ich tun muss habe ich leider keines gefunden.

Super wäre eine schrittweise Erklärung anhand dieses Beispiels:

$$ cos(x) \geq 1-\dfrac{x^2}{2} \\ \forall x \in \mathbb{R}$$

Handfeste Erklärungen/Schilderungen mit Schritten wären total lieb!

Vielen Dank schonmal

Answer 1

Betrachte für x > 0 :

 f(x) = cos(x) + x^2 / 2    mit f ' (x) = - sin(x) + x

Mittelwertsatz liefert für das Intervall [0;x]

( f(x)  - f(0) ) / (x- 0 )  = f ' (z)   mit z ∈ ]  0 ;  x [

( cos(x)+x^2 / 2 - 1   ) /  x   = f ' (z) =  - sin(z) + z  ≥ 0

<=> ( cos(x)+x^2 / 2 - 1   ) /  x     ≥ 0    | *x  (ist ja nicht negativ)

<=>  cos(x)+x^2 / 2 - 1      ≥ 0

<=>  cos(x)     ≥  1  - x^2 / 2 .

Für negatives x entsprechend auf dem Intervall [ x ; 0 ].

Comments

Danke für deine Antwort - soweit ganz gut verstanden!

Nur, warum ist x nicht negativ?

Ahhh kann das sein, dass wir da zwei verschiedene Fälle betrachten müssen?

Einmal machen wir das ganze mit dem Mittelwertsatz von [0;x] und einmal von [x;0]?

Für das zweite Intervall wäre es folgend:

MWS für [x;0]:

(f(0) - f(x)) / (0 - x) = f'(z) = - sin(z) + z >= 0

(-cos(x) - (x^2/2) + 1)/(-x) = f'(z) = -sin(z) + z >=0

<=> -( -cos(x) - (x^2 / 2) + 1  ) /  x    ≥ 0    | *x  (ist negativ) -> Vz dreht sich um

<=> ( cos(x) + (x^2 / 2) - 1  )    <=  0 

<=>  +(x^2 / 2) - 1 <=  - cos(x)   | *(-1)

<=> cos(x) ≥ 1 - (x^2 / 2)

Passt das so? :)

Glaube ich habe es verstanden (falls es richtig ist)

Gaaaanz lieben DANK!

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sieht gut aus der 2. Fall !

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Hm in der letzten Zeile hatte ich einen Fehler gemacht

Da steht nun  1 + x^2/2 ≥ cos(x)

Das stimmt nun nicht mehr überein .. kannst du mir da auf die Sprünge helfen?

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( cos(x)+x² / 2 - 1  ) /  x  = f ' (z) =  - sin(z) + z  ≥ 0

fehlt da nicht noch eine Begründung?

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Welche denn?

Beim ersten Fall oder beim zweiten Fall?

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Für negatives x auf dem Intervall [ x ; 0 ] wär ein Lösungsweg noch von Vorteil - falls jemand Bescheid weiß und den Überblick hat.