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Aufgabe: Zwei gleichgroße Kreise mit dem Radius r berühren sich untereinander sowie eine gemeinsame Tangente g. Ein Quadrat mit der Seitenlänge t liegt mit einer Seite auf g und je eine Ecke liegt auf je einem der beiden Kreise (siehe Abbildung). Bestimme t in Abhängigkeit von r.

blob.png

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Auch hier nur eine Vermutung: r = 2,5t? :)

Gute Vermutung. Nun der Beweis!

2 Antworten

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Beste Antwort

Forme die Gleichung r²=(r-0,5a)²+(r-a)² um, bis du einen Zusammenhang zwischen a und r hast.


Unbenannt.png

Nachdem im meinen Rechenfehler beseitigt habe, komme ich auch auf r=2,5 a und die Nebenlösung r=0,5 a. (Letztere ergibt sich, wenn die oberen Quadratecken die beiden Kreise von innen berühren).

von
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M sei der Mittelpunkt des linken Kreises.

P sei der Berührpunkt dieses Kreises mit g.

Q sei der Berührpunkt dieses Kreises mit dem Quadrat.

Für den Winkel α := ∠PMQ gilt

        sin(α) = (r - t/2)/r

        cos(α) = (r - t)/r

Mittels trigonometrischen Pythagoras bekommt man

        ((r - t/2)/r)2 + ((r - t)/r)2 = 1

Lösungen dieser Gleichung sind

        t = 2/5·r

        t = 2r

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