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Aufgabe:

Seien A, B, C endliche Mengen. Beweisen Sie:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.


Problem/Ansatz:

Ich hab das ganze erstmal soweit umgestellt:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + ( |A ∪ B ∪ C| - |A| - |B| - |C| )

|A ∪ B ∪ C| = − |A ∩ B| − |B ∩ C| − |A ∩ C| + |A ∪ B ∪ C|

und jetzt komme ich leider nicht mehr weiter.

Ist das überhaupt soweit richtig? Und wie könnte man jetzt weiter vorgehen?

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Bekommst du es denn für 2 Mengen hin oder habt ihr das vielleicht schon bewiesen ?

| X∪Y| = |X| + |Y| - | X∩Y|     #

sonst schau mal dort:

https://www.mathelounge.de/555532/machtigkeit-der-vereinigungsmenge-einer-anderen-beweisen?show=555551#a555551

Und das wende nun an auf  |A ∪ B ∪ C|  bzw. auf |A ∪ (B ∪ C)| . Das gibt dann

=  |A| + |B ∪ C| - | A∩(B ∪ C)|    und nochmal

=  |A| + |B|  +  |C|  - |B∩C |  - | A∩(B ∪ C)|

Jetzt musst du mal schauen, was mit A∩(B ∪ C) ist,

das gibt  (A∩B) ∪ (A∩C) und hierauf kann du wieder  # anwenden

und dann wird es was.


 

von 257 k 🚀

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