Fakultäten auseinanderziehn und umformen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie dass die Beziehung gilt \( \begin{pmatrix} n-1\\k-1\end{pmatrix} \) +\( \begin{pmatrix} n-1\\k\end{pmatrix} \)  = \( \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} \)

mit \( \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} \) = \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Problem/Ansatz:

Ich kann benutzen  (n-k)! =(n-k)*(n-k-1)!

Ich will die linke Seite so umformen, dass ich die rechte Seite der Gleichung erhalte.

Ich setze in die Gleichung ein:

\( \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} \) + \( \frac{(n-1)!}{(k!(n-1)-k)!} \)

\( \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} \) + \( \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} \)

Ich habe jetzt die Brüche erweitert, aber ich komme am Ende nicht zum Ziel.

Answer 1

Hi,

Sieht doch schon ganz gut aus ;). Die Idee ist auch richtig.

$$\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-k-1)!} $$

$$= \frac{(n-1)!\cdot k}{k\cdot (k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot(n-1)!}{k!(n-k-1)!\cdot(n-k)}  $$

$$= \frac{(n-1)!\cdot k}{k!(n-k)!} + \frac{(n-k)\cdot(n-1)!}{k!(n-k)!} $$

$$ =  \frac{(n-1)!\cdot k + (n-k)\cdot(n-1)!}{k!(n-k)!} $$

$$ = \frac{ n\cdot(n-1)!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $$

Grüße

Comments

Danke, immer wieder schön hier eine Antwort zu finden! Beste Antwort, weil leicht verständlich und gut nachvollziehbar. LG

Answer 2

Verwende:

(k-1)! = k!/k

(n-1)! = n!/n

(n-k-1)! = (n-k)!/(n-k)

Comments

Stimmt man könnte durch den ersten Wert teilen. Cool! Jetzt habe ich mit der anderen Antwort zwei neue Tools. Hatte die ganze Zeit an sowas gedacht.

Schade, dass ich nicht drauf gekommen bin ;)