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Es sei \( \mathcal{B}_{1} = \left\{e_{1}, \vec{e}_{2}, \vec{e}_{3}\right\} \) die Standardbasis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathcal{B}_{2}=\left\{v_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \) die Basis mit

$$ v_{1}=\left[\begin{array}{l} {1} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right], i_{2}=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {0} \end{array}\right], \vec{u}_{3}=\left[\begin{array}{l} {0} \\ {1} \\ {1} \end{array}\right] $$

Weiter sei \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f\left(x^{2}\right)=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-1} & {1} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3}\end{array}\right] x^{2} \)

a) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}_{1}, B_{1}} \)

b) Berechnen Sie die Basiswechschatrizen \( T_{B_{2}, B_{1}} \) und \( T_{B_{1}, B_{2}} \)

c) Berechnen Sie \( f_{B_{2}, B_{2}} \) auf folgenden zwei Wegen:

 (a) mit der Definition,
 (b) mithilfe von \( f_{B_{1}, B_{1}} \) und den Basiswechsolmatrizen.


Problem/Lösungsansatz

Formel die ich gern bei a)/b) anwenden würde und nicht kann:

Basis von V -> b(beta)= {b1,...bn}; Basis von W -> C= {c1,....cn}

- f(bj) als LNK von c1,...,cm -> f(bj) = a1jc1+a2jc2+...+amjcm

- Koordinatenvektor in j-te Spalte-> fb,c [Kc(f(b1))...Kc(f(bn))] = Matrix 1.Zeile [a11...a1n] 2.Zeile [am1...amn]

c) ist damit die von mir genannten Definition gemeint?

b) mit Hilfe der in a) oder b) berechneten Matrizen?

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Hallo

 das ist wirklich schwer zu lesen, was etwa ist Kc(f(b1)

 2.Zeile [am1...amn], was ist das m?

Warum redest du von V und W du hast nur R^3 , warum nicht die Bezeichnungen ei und vi? usw.

ich ahne, dass du das richtige meinst, also v1=e1+e2 usw?

f(v1)=f(e1)+f(e2) ist richtig

wie man die Matrices T herstellt weisst du? dazu seh ich keine Beschreibung.

Gruß lul

Das ähnliche Problem habe ich auch. Es ist eine Formel aus meinem Buch, die nicht näher erläutert wird.

Ich bin da auch ganz offen für andere Lösungsansätze/Formeln.

1 Antwort

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So ganz verstehe ich deine Überlegung nicht. Aber für a)

musst du doch nur von jedem Basisvektor das Bild berechnen,

also z.B. von dem ersten gibt es

0
2
0

und den als Lin.komb. von v1, v2, v3 darstellen

= 0*v1  +  2*v2  + 0* v3

und die Faktoren vor den v's bilden die erste Spalte

der Matrix, die ist also

0
2
0

Entsprechend mit den 2. Basisvektor gibt es f(v2)=

-3
4
0

und das ist gleich  -3*v1  +  7*v2  + 0* v3  also hast

du schon 2 Spalten der Matrix

0    -3
2     7
0     0

und ebenso mit der dritten …..

Avatar von 287 k 🚀

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