Wie bestimmt man das Supremum und Infimum von f:[0,2[ -> R ,x->1/(x-2)?

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man das Supremum und Infimum von f:[0,2[ -> R ,x->1/(x-2)?

Problem/Ansatz:

Das Infimum ist eigentlich klar:

Inf f = -1/2

sup f wäre lim (x->2) von 1/(x-2) ? Was ja nicht möglich wäre?

Answer 1

Hallo Susanne,

Wie bestimmt man das Supremum und Infimum von f:[0,2[ → ℝ , x ↦ 1/(x-2) ?

Wertemenge  f( [ 0 : 2 [ )  =  [ - 1/2 ; - ∞ [   denn

   f(0) = - 1/2 ,  f ist  streng monoton fallend  und  lim_x→2-  = - ∞

→   Supremum = Maxiimum = - 1/2

       Infimum und Miniimum  gibt es nicht

        (  [ -1/2 ; - ∞ [  ist nach unten unbeschränkt → es gibt keine (größte) untere Schranke )

Gruß Wolfgang

Comments

Supremum = Maximum = -1/2 soll das heißen oder?

Und ob man sagt minus unendlich ist das Infimum oder es gibt kein Infimum ist glaub ich Definitionssache

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Supremum = Maximum = -1/2 soll das heißen oder?

Ja, danke für den Hinweis!  Habe ich korrigiert.

Answer 2

Hi,

Das, was du als Infimum bestimmt hast dürfte das Supremum sein, denn wir sind ja im Negativen. lim (x->2) von 1/(x-2) ist ja minus unendlich, somit ist minus unendlich das Infimum.

Comments

Hi,

wieso - unendlich?

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Weil du ja jeden beliebig kleinen Wert erreichen kannst je näher x an 2 kommt. Somit kann man keine Zahl als untere Schranke benennen und die größte untere Schranke ist minus unendlich.

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Achso stimmt.

Eine andere Frage: kann das sup bzw. inf auch einen Wert in einem Intervall annehmen, oder handelt es sich immer um die Ränder?

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ähhh das supremum bzw. infimum von was denn? wenn es um das sup / inf von einem intervall geht dann sind das immer die ränder dieses Intervalls und keine werte aus der mitte des Intervalls. Aber Ich nehm mal an, das war nicht die Frage oder?

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Nein, wenn ich z.b so eine Funktion wie dort oben habe, wobei auch der Definitionsbereich in einem Intervall angegeben ist.

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Sup / Inf der Bildmenge sind ja irgendwelche Werte, da kann es natürlich sein, dass Sup / Inf der Bildmenge zufällig mitten im Definitionsbereich liegen. Das kann aber eigentlich auch nicht deine Frage sein :$

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Warum kann es nicht meine Frage sein?

Es ging mir gerade nur darum zu erfahren, ob inf oder sup auch andere Werte als die Ränder annehmen können, denn es könnten ja auch noch andere potenziellen Werte globale Extremata werden.

Die obige Funktion könnte ja auch auf R->R  definiert sein und dann wüsste man ja schlecht was das sup und inf ist.