Aufgabe:
Erreicht die iterative Funktion:
$$x=\frac{x+s}{k}$$
die offensichtlich gegen einen Grenzwert läuft, diesen oder nicht.
Den Grenzwert kann man leicht berechnen:
$$lim=\frac{s}{k-1}$$
Problem/Ansatz:
Ich habe diese Funktion programmiert (C++) und da erreicht sie den Limes.
Intuitiv kann das aber nicht sein.
Mein Verdacht ist, dass die Funktion den Limes errecht, weil die Programmiersprache nur eine begrenzte Anzahl Nachkommastellen darstellen kann.
Um dies zu prüfen, bin ich auf eine etwas andere Rechenweise gekommen, die nur mit ganzen Zahlen arbeitet.
Wenn bei einer Division ein Rest bleibt, wird dieser nicht in Nachkommastellen aufgelöst sondern bleibt als Bruch bestehen.
Das ergibt folgende Schreibweise: Q,Z,N (Q = Quotient, Z = Zähler, N = Nenner)
Das ergibt z.B. für $$\frac{7}{3} = \frac{7,0,1}{3,0,1}=2,1,3$$
Für die iterative Fumktion ergibt sich:
$$x,Z,N=\frac{x,Z,N+s,Z',N'}{k,Z'',N''}$$
Für die Berechnung des Limes ergibt sich dann:
$$lim,Z,N=\frac{s,Z',N'}{k,Z'',N''-1,0,1}$$
Ich habe die vier Grundrechenarten für diese Art der Rechnung programmiert.
Programmiere ich diese iterative Funktion mit der neuen Rechenart, so hält der der Algorithmus zwar nicht da an, wo er bei normaler Rechenweise anhält, aber ob er jemals anhält (den Limes erreicht) kann ich auch nicht sagen, da die ganzen Zahlen, bevor der Limes erreicht wird, so gross werden, dass sie vom Rechner nicht mehr dargestellt werden können.
Als habe ich beschlossen, die Frage mathematisch zu klären.
Das führte mich zu dieser Gleichung:
$$\frac{k^{i}-1}{k^{i}(i-1)}=\frac{q}{s}$$
i = die Anzahl Iterationen
Hier komme ich nicht mehr weiter.
Die Frage ist nun: Ist diese Gleichung nach i auflösbar?
