Vektorräume und Untervektorräume

Question

Aufgabe:

1) Zeigen Sie, dass jeder R-Vektorraum V mit V 6 "ungleich" {0} unendlich viele Elemente hat.

2)  Seien K ein Körper, α1,α2,β ∈ K und

        U := {(x1,x2) ∈ K^(2) : α1x1 + α2x2 = β}.

3) Wann ist U ein Untervektorraum des K^(2)? Beweisen Sie Ihre Behauptung!

Problem/Ansatz

:)

Ich bräuchte nochmal Hilfe zu meinem lineare Algebra Übrungsblatt.

Mein Problem ist immer, ich weiß genau worauf es bei den Vektorräumen ankommt usw..aber ich weiß nicht wie ich mit meinem Wissen an die Aufgaben ran gehen soll..

Wäre super, wenn ihr mir nochmal helfen würdet...

Liebe Grüße

Annika

Answer 1

1)   V≠{0} ==>  Es gibt ein v∈V mit v≠0-Vektor .

Betrachte für jedes x∈ℝ die Vektoren x*v .

Die sind alle verschieden, denn wären x*v = y*v

                ==>    x*v-y*v = 0-Vektor

               ==>    (x-y) *v = 0-Vektor

            Da v≠0-Vektor gilt also  x-y=0 , und damit x=y .

Answer 2

Hallo Annika,

1)

1) Zeigen Sie, dass jeder R-Vektorraum V mit V 6 "ungleich" {0} unendlich viele Elemente hat.

  Das sollte wohl wegfallen  (?)

  V  ≠  { \(\vec{0}\) }  →  es gigt mindestens ein \(\vec{a}\) ∈ V  mit   \(\vec{a}\) ≠ 0

  wegen der Abgeschlossenheit bzgl der Multikation mit reellen Zahlen ist dann für jede reelle Zahl  r • \(\vec{a}\) ∈ V

   Diese Produkte sind wegen

           r₁ •  \(\vec{a}\) = r₂ •  \(\vec{a}\) = (r₁ - r₂) •  \(\vec{a}\) = 0  → r₁ = r₂  alle verschieden.

   →  V hat unendlich viele Elemente.

2)

da U den Nullvektor (0,0) enthalten muss, muss β=0 gelten.

Dann lässt sich die Abgeschlossenheit bzgl  +  und  •  leicht zeigen.

Gruß Wolfgang