Beweis der Ungleichung e^x>=1+x so richtig?

Question

Ich soll die Ungleichung e^x>=1+x mit dem Taylorpolynom beweisen.

Meine Versuch (siehe Bild), konnte es leider hier nicht einfügen:()

Answer 1

Hallo Anja,

mit Entwicklungspunkt  x₀ = 0  gilt  fur f(x) = e^x

T₁ (x) = e⁰ / 0!  · x⁰  +  e⁰ / 1! · x  = 1 + x

   f(x) = e^x =  1 + x   + R₂(x,ξ)   =  1 + x  +  e^ξ / 2! · x²      [ ≥ 0 ! ]

                                          (  ξ ∈ [0 , x ]  fur x≥ 0  bzw. ξ ∈ [x , 0 ] für x < 0 )

         →    e^x  ≥  1 + x 

Gruß Wolfgang

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Habe in  der 3. Zeile einen Tippfehler korrigiert.

Answer 2

Es geht auch ganz ohne Taylor:

P(0|1) ist der einzige Punkt, der f(x)=e^x und g(x)=x+1 gemeinsam haben (Tangentenberührpunkt) und f''(x)>0 für alle x∈ℝ (überall linksgekrümmt).

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Ich soll die Ungleichung ... mit dem Taylorpolynom beweisen.