Brückenbogen Spannweite errechnen

Question

folgende Aufgabe: Wir sollen bei einem Brückenbogen mit der Gleichung f(x) = 1/450 x² - 2/3 x + 60 die Spannweite errechnen.


Der Scheitelpunkt, den ich ausgerechnet habe, ist S(150/10) mit der Gleichung f(x) = 1/450 (x-150)² + 10


Jetzt habe ich mir folgendes überlegt: Die höchste Stelle des Bogens ist bei y = 0, also muss ich 0-setzen damit ich den anderen X-Wert rauskriege.


Hätte das jetzt mit der normalen Gleichung und pq Formel gemacht aber die Brücke hat keine Nullstellen.


Deswegen mit der Scheitelpunktform mal versucht:


0 = 1/450 (x-150)² + 10     | -10

-10 = 1/450 (x-150)²     | durch 1/450

-4500 = (x-150)²    | binomische Formel

-4500 = x² - 300x + 150²    | -150²

-27000 = x² - 300x


und jetzt?

Comments

Ist der Scheitelpunkt der tiefste oder der höchste Punkt deiner Brücke?

Bei f(x) = 1/450 x² - 2/3 x + 60

wäre es der tiefste, da 1/450 > 0.

Wenn der über der x-Achse liegt, kann es gar keine Lösung von f(x) = 0 geben.

Kommst du nun selbst weiter?

Answer 1

 

wenn Du kein Minuszeichen vor dem 1/450 * x² vergessen hast, hat der Brückenbogen tatsächlich die Form eines U und nicht eines umgedrehten U und insofern tatsächlich keine Nullstelle. 

Er ist aber quasi an der y-Achse aufgehängt, wie Du richtig geschrieben hast. 

Dann kann man so herangehen: 

Er hat ein absolutes Maximum an der y-Achse, "hängt dann durch" bis zu einem lokalen Minimum, und steigt dann wieder an bis zu einer Stelle, wo er ebenfalls die Höhe 60 hat.

Deshalb müssen wir das Minimum lokalisieren, indem wir f'(x) = 0 setzen:

 

f(x) = 1/450 * x² - 2/3 * x + 60 

f'(x) = 2/450 * x - 2/3

f''(x) = 2/450 > 0

 

f'(x) = 2/450 * x - 2/3 = 0 | + 2/3

2/450 * x = 2/3 | *450/2

x = 2/3 * 450/2 = 900/6 = 150

f''(150) = 2/450 | es liegt also an der Stelle x = 150 tatsächlich ein lokales Minimum vor. 

 

Der Bogen ist "achsensymmetrisch" zu dieser Stelle x = 150 und erstreckt sich deshalb von x = 0 bis 

x = 150 + 150 = 300

 

Er hat also eine Spannweite von 300 Metern. 

 

Und so sieht er in etwa aus:

~plot~ 1/450*x^{2}-2/3*x+60;{150|10};[[-20|310|-40|100]] ~plot~

Besten Gruß

Comments

Also kann man eigentlich sagen, die Spannweite ist in so einem Fall immer das doppelte von der x Koordinate des Scheitel Punkts¿

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In so einem Fall, wenn der Bogen "links an der y-Achse aufgehängt" ist: Ja.

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Ich muss aber eben nochmal nachrechnen, weil mir gerade auffällt, dass auch ein ungrader Exponent von x in der Funktion vorkommt: 

f(300) = 1/450 * 300² - 2/3 * 300 + 60 = 60

Passt - zum Glück :-D