Aufgabe:
n*1+1n \sqrt{1+\frac{1}{n}} 1+n1 - n*1−1n \sqrt{1-\frac{1}{n}} 1−n1
n → ∞
Problem/Ansatz:
Ich komme auf das Ergebnis 0 für n → ∞, mein Ansatz war, dass der Bruch 0 wird, also
n*1 - n*1 =0
Das Ergebnis ist aber leider nicht korrekt.
Danke für die Hilfe!
n∗1+1n−n∗1−1nn* \sqrt{1+\frac{1}{n}} - n*\sqrt{1-\frac{1}{n}} n∗1+n1−n∗1−n1
=n∗(1+1n−1−1n)= n* (\sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1-\frac{1}{n}}) =n∗(1+n1−1−n1)
mit der Summe erweitern gibt
=n∗(1+1n−1−1n)∗(1+1n+1−1n)1+1n+1−1n= n* \frac{(\sqrt{1+\frac{1}{n}} - \sqrt{1-\frac{1}{n}})*(\sqrt{1+\frac{1}{n}} + \sqrt{1-\frac{1}{n}}) }{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }=n∗1+n1+1−n1(1+n1−1−n1)∗(1+n1+1−n1)
=n∗1+1n−(1−1n)1+1n+1−1n= n* \frac{1+\frac{1}{n} - (1-\frac{1}{n})}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }=n∗1+n1+1−n11+n1−(1−n1)
=n∗2n1+1n+1−1n=21+1n+1−1n= n* \frac{\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }= \frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}} +\sqrt{1-\frac{1}{n}} }=n∗1+n1+1−n1n2=1+n1+1−n12
Also geht es gegen 2 / (1+1) = 1.
Vielen, vielen Dank!
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