Beweis einer Untergruppe: Zeigen Sie, dass Hf eine Untergruppe von Sn ist

Question

Sei M eine Menge und f: {1,...,n} → M eine Abbildung.

H_f := {σ ∈ S_n: f • σ = f}.

Nun soll ich zeigen dass H_f eine Untergruppe von S_n ist aber wie?

Ich kenne das Untergruppenkriterium

also ich soll seigen H ≠ ∅

und a,b ∈ H: a b^-1 ∈ H

Könnt ihr mir helfen ich komm einfach nicht weiter =(

Answer 1

kurz und knapp:

$$ 1_{S_n} \in H_f \Rightarrow H \neq \emptyset$$

$$ \text{Für }\sigma, \tau \in H_f \text{ gilt: } f \circ \sigma = f \circ \tau \Rightarrow f\circ (\sigma \circ \tau^{-1}) = f \Rightarrow \sigma \circ \tau^{-1} \in H_f$$

Gruß