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Untersuchen Sie folgende Reihe auf Konvergenz und ermitteln Sie den Reihenwert falls existent.

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \) (2-n + (-1)n3-n-1)

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$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (2^{-n} + (-1)^n*3^{-n-1})$$

Das könnte ja die Summe zweier konvergenter Reihen sein:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  2^{-n} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (-1)^n*3^{-n-1}$$

Die erste ist eine geometrische Reihe mit q= 1/2 also konvergent gegen 1,

da sie erst mit 2^(-1) = (1/2)^1 beginnt.

Die zweite :$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (-1)^n*3^{-n-1}= \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (-1)^ {-n}*3^{-n-1}$$

$$=\frac{1}{3} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (-1)^ {-n}*3^{-n}=\frac{1}{3} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (-3)^ {-n}$$

$$=\frac{1}{3} \sum\limits_{n=1}^{\infty}{}  (\frac{-1}{3} )^ {n}$$

Also geom. Reihe mit q= -1/3 also ist die Summe

1 / ( 1 - (-1/3) )  =  3/4 und mit dem Faktor 1/3 davor also  1/4.

Die gesamte Reihe konvergiert also gegen  1 + 1/4  =   5/4.

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Was ist der Unterschied zwischen 2 und -3 ?

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