Eigenvektoren von D= ( (1, 3, 0), (3, 1 , 0), (0, 0, 3)) bilden

Question

 Aufgabe: Eigenvektoren bilden

Problem/Ansatz:

D= { 1 3 0                 Eigenwerte: k= -2 ; k= 3 ; k=4

        3 1 0

        0 0 3}

ist es normal das ich auf den 0 vektor komme?

Answer 1

ist es normal das ich auf den 0 vektor komme?

Nein. Wenn du die richtigen Eigenwerte hast, sollte da nicht nur der Nullvektor resultieren. Gib deine Matrix mal bei Wolframalpha.com ein, damit du weisst, wohin du kommen solltest.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(+(1+,3,+0)++,(+++++3,+1+,0),(++++++++++0,+0,+3))

Den Eigenvektor v_2 zum Eigenwert k=3 kannst du übrigens direkt der Matrix entnehmen.

Grund: Du weisst, dass (0,0,1) ↦ (0,0,3) . D.h. die Richtung bleibt erhalten, die Länge des Vektors wird mit 3 multipliziert. 

Answer 2

Eigenwerte stimmen. Dann musst du z.B.  D - 4*E   auf Stufenform bringen:

Ich bekomme

1   - 1     0
0     0     1
0     0      0

also x3= 0    x2 beliebig etwa x2 = t und  x1 = t

also sind die Eigenvektoren zur 4 alle von der Form

(  t , t , 0 ) =   t * ( 1 , 1 , 0 )    also bildet

( 1 , 1 , 0 )   eine Basis des zugehörigen Eigenraums.    etc.

0-Vektor als Eigenvektor macht keinen Sinn.

Comments

{(1-4)   3     0

  3     (1-4)  0

  0       0     (3-4)}

{ -3     3      0

   3     -3     0

   0     0      -1}     so sieht das bei mir aus oder is das falsch?

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Nö, das ist auch OK. Du musst noch

zur 2. Zeile die erste addieren und hast dann

{ -3     3      0

   0    -0     0

   0     0      -1}

und dann sagt die 3. Zeile  x3=0

und   x2 beliebig etwa x2 = t und

die rste Zeile ergibt dann

-3x1 + 3t = 0 also  x1 = t.

Wie bei meiner Lösung auch.

Answer 3

Ja, es ist normal, dass du auf den Nullvektor kommst. Die Gleichung

        A · 0 = λ · 0

gilt für jedes λ, insbesondere also auch für die Eigenwerte.

Wenn λ ein Eigenwert ist, dann sollte der Nullvektor allerdings nicht der einzige Vektor v sein, der

        A · v = λ · v

erfüllt. Wäre das zugelassen, dann wäre jedes k ∈ K Eigenwert.