Aloha :)
a) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\):$$1=\det(E)=\det(A^{-1}A)=\det(A^TA)=\det(A^T)\cdot\det(A)=\det(A)\cdot\det(A)={\det}^2(A)$$$$\Rightarrow\quad\det(A)=\pm1$$
b) \(A\in U_n(\mathbb{C})\) bzw. \(A^{-1}=\overline A^T\):$$|a|^2=\left|\det(A)\right|^2=\overline{\det(A)}\cdot\det(A)=\det(\overline A)\cdot\det(A)=\det\left((A^{-1})^T\right)\cdot\det(A)=\det(A^{-1})\cdot\det(A)=\det(A^{-1}A)=\det(E)=1$$$$\Rightarrow\quad|a|=\left|\det(A)\right|=1$$
c) In (a) wurde gezeigt, dass eine orthogonale reelle Matrix nur die Determinante \(\pm1\) haben kann. Daher reicht es aus, diese beiden Fälle zu betrachten:
c1) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\) und \(\det(A)=1\):$$\det(A-E)=\det(A-A^{-1}A)=\det(A-A^TA)=\det(E-A^T)\cdot\det(A)=\det(E^T-A^T)=\det((E-A)^T)=\det(E-A)=(-1)^n\det(A-E)$$Falls \(n\) ungerade ist, gilt also:$$\Rightarrow\quad2\det(A-E)=0\quad\Rightarrow\quad\det(A-1\cdot E)=0\quad\Rightarrow\quad\lambda=1\;\text{ ist EW}$$
c2) \(A\in O_n(\mathbb{R})\) bzw. \(A^{-1}=A^T\) und \(\det(A)=-1\):$$\det(A+E)=\det(A+A^{-1}A)=\det(A+A^TA)=\det(A)\cdot\det(E+A^T)=-\det(E^T+A^T)=-\det((E+A)^T)=-\det(E+A)=-\det(A+E)$$$$\Rightarrow\quad2\det(A+E)=0\quad\Rightarrow\quad\det(A-(-1)\cdot E)=0\quad\Rightarrow\lambda=-1\;\text{ ist EW}$$
