Abbildungsmatrix/Koordinatenvektor

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die folgenden Basen P und Q von Pol2R

$$\begin{array} { l } { P : p _ { 1 } ( X ) = 1 , \quad p _ { 2 } ( X ) = X , \quad p _ { 3 } ( X ) = X ^ { 2 } } \\ { Q : q _ { 1 } ( X ) = X ^ { 2 } + X + 1 , \quad q _ { 2 } ( X ) = X ^ { 2 } - X + 1 , \quad q _ { 3 } ( X ) = X ^ { 2 } + X } \end{array}$$

Weiterhin sei g:Pol2R -> Pol2R die lineare Abbildung mit

$$\begin{aligned} g \left( p _ { 1 } ( X ) \right) & = 3 q _ { 1 } ( X ) + 9 q _ { 2 } ( X ) \\ g \left( p _ { 2 } ( X ) \right) & = - 9 q _ { 1 } ( X ) - 7 q _ { 3 } ( X ) \\ g \left( p _ { 3 } ( X ) \right) & = - 7 q _ { 2 } ( X ) - 3 q _ { 3 } ( X ) \end{aligned}$$

(a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix von g bezüglich den Basen  P und  Q.

(b) Sei  r(X) = X^2 + 2. Bestimmen Sie den Koordinatenvektor von f(r(X) bezüglich der Basis Q.

Answer 1

zu a) P

$$g(p_1(X))=3q_1(X)+9q_2(X)=3*(X^{2}+X+1)+9*(X^{2}−X+1)=11X^{2}-6X+11$$

$$=11p_3(X)-6p_2(X)+11p_1(X)=11p_1(X)-6p_2(X)+11p_3(X)$$

Also ist deine Erste Zeile der Abbildungsmatrix bezüglich P:

$$\begin{pmatrix} 11 & -6 &11 \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix}$$

$$\text{Die restlichen Zeilen für P machst du genau so, mit } g(p_2(X)) \text{ und }g(p_3(X)).$$

zu a) Q

$$g(q_1(X))=g(X^{2}+X+1)=g(p_3(X)+p_2(X)+p_1(X))=g(p_3(X))+g(p_2(X))+g(p_1(X))$$

$$=(−7q_2(X)−3q_3(X))+(−9q_1(X)−7q_3(X))+(3q_1(X)+9q_2(X))$$

$$=-6q_1(X)+2q_2(X)-10q_3(X)$$

Also ist deine Erste Zeile der Abbildungsmatrix bezüglich Q:
$$\begin{pmatrix} -6 & 2 &-10 \\ ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix}$$

$$\text{Die restlichen Zeilen für P machst du genau so, mit } g(q_2(X)) \text{ und }g(q_3(X)).$$

zu b)

$$\text{Du musst versuchen r(X) als Funktion von }q_1(x),\ q_2(x)\text{ und }q_3(X)\text{ zu schreiben.}$$