Konvergenz durch Quotientenkriterium

Question

Aufgabe:

Untersuchen auf Konvergenz/Divergenz:

\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{ \frac{k!(k+1)!}{(2k)!} } \)

Problem/Ansatz:

Ich würde das Quotientenkriterium anwenden, also |a_k+1/a_k|, kann den Bruch jedoch nicht so weit kürzen, um eine Konvergenz/Divergenz zu erkennen.

Danke für die Hilfe!

Answer 1

$$ |a_{k+1}/a_k|=\frac{\cancel{(k+1)!}(k+2)!(2k)!}{k!\cancel{(k+1)!}(2(k+1))!}=\frac{(k+2)(k+1)(2k)!}{(2k+2)!}\\ =\frac{(k+2)(k+1)}{(2k+2)(2k+1)}\to \frac{1}{4}\\$$

Comments

Fehlt im Nenner nicht (2k+1)!*..

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Nein, denn (2k+2)!=(2k+2)(2k+1)(2k)! und (2k)! kürzt sich nun.

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Ich meinte im ersten Bruch bei ak+1 müsste im Nenner (2k+1)! stehen.(

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Stimmt! Dass habe ich dort vergessen aufzuschreiben. Es fehlt dort (2(k+1))!

=(2k+2)!

Ich füge es noch ein.

Answer 2

Verwende:

(k+1)! = k!(k+1)

(2k+2)! = (2k)!*(2k+1)(2k+2)

Da lässt sich einiges kürzen. :)