Kontraktion einer stochastischen Matrix zeigen und daraus folgern

Question

$$\text{Sei }W:=\{(x_1,...,x_n)\in[0,1]^n:x_1+...+x_n=1\}\text{ die Menge aller stochastischen Zeilenvektoren und}\\\hspace{2cm}f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^n, f(x)=xA\text{ für }A\in\mathbb{R}^{n\times n}\text{ eine stochastische Matrix/Übergangsmatrix.}\\\text{Zeige, dass }f(W)\subseteq W\text{ und }f|_W\text{ eine Kontraktion bzgl. der 1-Norm ist.}\\\text{Folgere daraus, dass genau ein }x\in W\text{ existiert mit }xA=x\text{ und bestimme }\lim\limits_{m \rightarrow \infty}{A^m}.$$

$$\text{Kontraktion gilt, wenn }d(f(x),f(y))\leq Ld(x,y)\text{ für alle }x,y\in M\text{ und }L\in(0,1).$$