Gebrochenrationale Funktion aus Eigenschaften aufstellen

Question

Aufgabe:

Bestimmen und skizzieren Sie f(x) mit all den folgenden Eigenschaften:
(a) f(x) ist gebrochen rationale Funktion mit Zählergrad 3 und Nennergrad 2.

(b) An der Stelle x = 2 befindet sich eine Nullstelle 2. Ordnung.
(c) An der Stelle x = 1 liegt eine Polstelle 2. Ordnung.

(d) y = x + 1 ist Asymptote.

Problem/Ansatz:

Ansatz:

(b) An der Stelle x = 2 befindet sich eine Nullstelle 2. Ordnung.

--> (x-2)² --> x²-4x+4

(c) An der Stelle x = 1 liegt eine Polstelle 2. Ordnung.

--> (x-1)²

Ich weiß noch, dass der Zählergrad größer ist als der Nennergrad.

x³/x² 

Ich weiß nun aber nicht warum ich im Zähler

(x+3) * (x2-4x+4 ) multiplizieren muss. Also woher kommt das?!

das Ergebnis ist ja dann (x+3) * (x2-4x+4 ) / (x-1)^2.

Nehme ich einfach (x+3), weil der Zählergrad 3 ist und deshalb addiere ich x+3 und multipliziere diesen um einen Zählergrad 3 zu erhalten oder kann ich eine beliebige Zahl zu x addieren?

Mit freundlichen Grüßen und Frohe Weihnachten

Answer 1

(b) An der Stelle x = 2 befindet sich eine Nullstelle 2. Ordnung.
(c) An der Stelle x = 1 liegt eine Polstelle 2. Ordnung.

(d) y = x + 1 ist Asymptote.

b) sagt, dass im Nenner mindestens mal   (x-1)^2 stehen muss und

wegen Nennergrad = 2 kommt da auch nix mehr dazu.

c) ==>  f(x) =  x+1 +  g/(x-1)^2

                   = ((x+1)*(x-1)^2 + g )  /  (x-1)^2 

So und jetzt muss noch das g (höchstens vom Grad 3)

so gewählt werden, dass bei x=2 eine doppelte Nullstelle ist also

(2+1)*(2-1)^2 + g (2)  = 0   <=>  g(2) = - 3

und bei ((x+1)*(x-1)^2 + g )  muss auch die

Ableitung n der Stelle 2 = 0  sein, die ist

3x^2 - 2x - 1    + g ' (x)   also gilt

        12 - 4 - 1  + g ' (2) = 0   bzw.     g ' (2) = -7

Da das nur 2 Bedingungen sind, reicht wohl der Ansatz  g(x) = ax+b

also 2a+b=-3   und  a=-7  also  b= 11 also

f(x) =   x+1 +  (-7x+1)/(x-1)^2

      = (x^3 - x^2 -8x +12)/(x-1)^2

Comments

Wie genau kommt man zum Schluss auf die "12"?

Ich komme nur auf "2".

f(x) =  x+1 +  (-7x+1)/(x-1)^2     | *(x-1)^2/(x-1)^2

 =((x+1)*(x-1)^2)/(x-1)^2 + (-7x+1)/(x-1)^2

=   ( ((x+1)*(x-1)^2)) + (-7x+1)  )   /(x-1)^2

= x^3 -x^2-x+1-7x+1 /(x-1)^2

=x^3 -x^2-8x+2 /(x-1)^2

---

Da hatte ich einen Tippfehler.

Vorher war ja rausgekommen  b=11

also muss es heißen

f(x) =   x+1 +  (-7x+11)/(x-1)^2

Answer 2

(b) und (c) zusammengenommen liefert (x-2)² / (x-1)².

Das wird noch mit (x-n) multipliziert um (a) und (d) zu erfüllen:

        f(x) = (x-n)(x-2)² / (x-1)² .

              = (x³ + (-n-4)x² + (4n+4)x + 4n) / (x² - 2x + 1)

Führe eine Polynomdivision durch. Bestimme n so, dass der ganzrationale Teil x + 1 ist.