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Aufgabe:

Gesucht ist jeweils der Inhalt der markierten Fläche A.

a) A wird durch zwei Geraden und eine Hyperbel mit gegebenen Gleichungen eingeschlossen.


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Problem/Ansatz:

Weil da ja jetzt 3 Funktionen dabei sind, habe ich keine Ahnung wie ich anfangen soll

von

Du musst zwei differenzfunktionen bilden. Die erste zwischen den geraden und die zweite zwischen der hyperbel und der unteren gerade. Dann musst du integrieren. Die erste Differenz Funktion zwischen 0 und 1. Die zweite zwischen 1 und Drittel wurzel aus 2. Dann die beiden Flächen zusammen addieren.

3 Antworten

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Beste Antwort

∫(x = 0 bis 1) (2·x - x) dx + ∫(x = 1 bis 2^(1/3)) (2/x^2 - x) dx = 3 - 3/2·2^(2/3) = 3 - 3/2^(1/3) = 0.6189

von 277 k

Kürzeste, aber hilfreichste Antwort :-) Danke!

+1 Punkt

Es ist sehr schnell ersichtlich dass das Dreieck zwischen den Punkten (0/0), (1/1) und (1/2) die Fläche 0,5 besitzt. Also fehlt noch der Rest der Fläche unter der hyperbel. Hier bilden wir die Differenz Funktion.

d=2/x^2-x

Und integrieren diese

D=-2/x-x^2/2

Jetzt die Grenzen 1 und 3√2 einsetzen

A=(-2/3√2-(3√2)^{2}/2) - (-2-1/2)= (-2^{2/3}-2^{2/3}/2)+2,5

=-3/2*2^{2/3}+2,5=-3/3√2 +2,5

Jetzt zusammen mit dem Ergebnis aus dem Dreieck ergibt für die Gesamtfläche

A=3-3/3√2

von 20 k
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Beide entspringen dem Ursprung, das ist ein Schnittpunkt. Ansonsten:$$\frac{2}{x^2}=x \quad \Longrightarrow S(\sqrt[3]{2} |\sqrt[3]{2})$$$$\frac{2}{x^2}=2x \quad \Longrightarrow S(1|2)$$

Wir haben also ein Dreieck mit den Punkten \(A(1|2)\), \(B(\sqrt[3]{2} |\sqrt[3]{2})\) und \(C(0|0)\).

Du berechnest nun die Abstände der Punkte zueinander und wendest den Satz von Heron an.

von 12 k

Ist eigentlich zum Thema Integralrechnung.

Daher wundert mich, dass das bei dir nicht einmal auftaucht

Das ist so nicht richtig. Eine Seite des "Dreiecks" ist keine Gerade.

Man könnte das Dreieck \((0\vert 0)\), \((1\vert 2)\) und \((1\vert 1)\) betrachten, dessen Fläche sich ohne den Satz von Heron leicht bestimmen lässt.

@Gastjc

Hast recht. Da sollte man doch mit Integral rechnen.

Oder man betrachtet den Rest, der nicht im Dreieck liegt als Kreissegment an, berechnet dessen Flächeninhalt und subtrahiert jenen vom Gesamtflächeninhalt.

1. Funktionsgleichung für zu untersuchende Strecke des Dreiecks aufstellen mit den Punkten \(A(\sqrt[3]{2}|\sqrt[3]{2})\) und \(B(1|2)\)$$g(x)=\frac{2-\sqrt[3]{2}}{1-\sqrt[3]{2}}(x-\sqrt[3]{2})+\sqrt[3]{2}$$

2. Der vertikale Abstand zweischen den Funktionen ist definiert durch \(d=|f(x)-g(x)|\). Diese muss maximiert werden, um die Höhe des Kreissegments zu berechnen

.

3. Es kann nun der Radius des Kreises bestimmt werden \(r=\frac{4h^2+s^2}{8h}\), wobei \(s\) der Abstand der beiden Punkte darstellt.


4. Der Flächeninhalt berechnet sich aus \(A=r^2\cdot \arcsin \left(\frac{s}{2r}\right)-\frac{s\cdot (r-h)}{2}\)


Ob das funktioniert, weiß nur derjenige, der es probiert :D

Oder man betrachtet den Rest, der nicht im Dreieck liegt als Kreissegment an, berechnet dessen Flächeninhalt und subtrahiert jenen vom Gesamtflächeninhalt.

Bitte nochmals ganz genau die Skizze ansehen. Dort ist sogar der Funktionsterm 2/x^2 gegeben. Dabei handelt es sich natürlich nicht um einen Kreis.

~plot~ x;2x;2/x^2;[[0|4|0|3]] ~plot~

Das ist aber schon eine sehr effektive Approximation. Ich denke, dass man das erst in der 12. Nachkommastelle merken würde.

Warum approximieren, wenn eine exakte Berechnung viel einfacher ist als die Approximation?

Ich habe es mit 2 Integralen gemacht. Das ist eigentlich nur zur Übung. Generell würde man das erste Dreieck mit der Flächenformel fürs Dreieck lösen wie koffi123 es absolut korrekt vorgemacht hat.

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