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Aufgabe:

Gegen ist die Funktion f(x) = e-x^2  im Intervall I = [-2,2] . Dieses soll durch ein Polynom 4. Grades interpoliert werden. Es sollen die Tschebyscheff-Stützpunkte und das Interpolationspolynom angegeben werden.


Problem/Ansatz:

Fuer die Tschebyscheff-Stützpunkte habe ich folgende Werte ermittelt.

x_0 = cos(pi/10)

x_1 = cos(3pi/10)

x_2 = cos(pi/2)

x_3 = cos(7pi/10)

x_4 = cos(9pi/10)

Um die korrekten Stellen zu finden muss noch eine Anpassung an den Intervall I vorgenommen werden. Dies geht mit w(t) = 1/2(-2+2+4t) = 2t

=> xneu = 2 * xalt

Nun ist mir aber noch nicht ganz klar, wie man daraus das Interpolationspolynom bildet. Kann mir hier jemand weiterhelfen?

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Ich nehme an, Du sollst die Koeffizienten \(k_i\) bestimmen für das Tschebyscheff-Polynom \(p(x)=\sum_{i=0}^4 k_i T_i(t(x))\), welches dann durch die 5 Stützpunkte verlaufen soll. \(t(x)=x/2\) - also das \(t\) entspricht dem \(x^{alt}\) und das \(x\) dem \(x^{neu}\), was das Argument für die Funktion \(f(x)=e^{-x^2}\) ist. Berechne zunächst für die Stützstellen die Werte für \(t\) und \(f(x)\): $$\begin{array}{r|rrr}i& t& x& e^{-x^2}\\ \hline 0& -0.95106& -1.90211& 0.02684\\ 1& -0.58779& -1.17557& 0.25108\\ 2& 0.00000& 0.00000& 1.00000\\ 3& 0.58779& 1.17557& 0.25108\\ 4& 0.95106& 1.90211& 0.02684\end{array}$$Dann noch die Werte \(T_i(t)\). Wobei \(T_{i+1}=2tT_i-T_{i-1}\): $$\begin{array}{rrrrr}T_0& T_1=t& T_2& T_3& T_3\\ \hline 1& -0.95106& 0.80902& -0.58779& 0.30902\\ 1& -0.58779& -0.30902& 0.95106& -0.80902\\ 1& 0.00000& -1.00000& 0.00000& 1.00000\\ 1& 0.58779& -0.30902& -0.95106& -0.80902\\ 1& 0.95106& 0.80902& 0.58779& 0.30902\end{array}$$diese Tabelle bildet die Matrix \(M\). Die Spalte mit den Funktionswerten in der ersten Tabelle sei der Vektor \(y\). Nun noch die Gleichung \(M \cdot k = y\) lösen. Das gibt $$k = \begin{pmatrix}0.31117\\ 0.00000\\ -0.44470\\ 0.00000\\ 0.24413\end{pmatrix}$$wie zu erwarten sind die \(k_i\) mit ungeradem \(i\) gleich 0, da die Funktion gerade ist.

Die Graphen von Funktion und Polynom sehen so aus:

Skizze.png


Der blaue Graph ist das \(p(x)\). Die Schnittpunkte der Kurven sind die Stützstellen.

Gruß Werner

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Hallo Werner, vielen Dank für deine Anleitung.  Habe es in Maple nachgerechnet, und alles klappt.  Wollte schon immer mal wissen, wie Tschebyscheff-Interpolation außerhalb des Standard-Intervalls funktioniert.

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Hallo P32O, wenn die Interpolation von -1 bis 1 gehen soll, dann kann man das Polynom gleich hinschreiben:
p(x) = ½ * c0 + c1 T1(x) + … + cn Tn(x)
Hierbei sind die Ti(x) die Tschebyscheff-Polynome und
ck = 2/(n+1) summe j=0 bis n f(xj)cos(k(j*1/2)h)
mit k = 0 bis n

In deinem Fall geht aber das Interpolationsintervall von -2 bis 2.  Was hier zu tun ist, kann ich nur raten.  Ich würde e^-(2x)^2 von -1 bis 1 interpolieren und hinterher das gefundene Polynom in x-Richtung um den Faktor 2 strecken.  Ob es eine elegantere Lösung gibt, weiß ich leider nicht.

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