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A) Gilt f strich=g, dann ist f eine Stammfunktion von g? ( sollte es nicht umgekehrt sein)

B)Ist f eine stammfunktion von g, dann ist auch f+c eine stammfunktion von g.

Warum stimmen diese Aussagen? Kann mir bitte jemand helfen?

Danke im Voraus

vor von

2 Antworten

+1 Punkt

Zu a)

Laut Definition heißt eine differenzierbare (ableitbare) Funktion F(x) eine Stammfunktion von f(x), wenn \(F'(x)=f(x)\) gilt.

Im Übrigen ist jedes unbestimmte Integral \(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx\) einer stetigen Funktion \(f(x)\) eine Stammfunktion von dieser. (Wenn eine Funktion auf [a,b] stetig ist, ist sie also auch dort integrierbar. → \(I(x)\) ist aufgrund von \(I'(x)=f(x)\) eine stetig differzierbare Funktion).

Es gilt also auch hier \(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx \Rightarrow I'(x) = f(x)\).

Zu b)

Jede Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, die sich durch die additive Konstante (meist C) unterscheiden.

Daher lässt sich jedes unbestimmte Integral auch folgendermaßen darstellen:

\(I(x)=\displaystyle\int\limits_a^x f(x) \,dx=F(x)+C_1\; \; \; (C_1 \in \mathbb{R})\)

Da es eine Konstante ist, entfällt diese beim Differenzieren natürlich wieder, denn

\(\dfrac{d}{dx}[C]=0,\;C\in \mathbb{R}\)

vor von 2,1 k
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f '=g Dann ist

∫f '(x) dx=∫g(x) dx oder f(x)=∫g(x)dx

Das unbestimmte integral von g(x) ist die Stammfunktion von g und das ist hier f.

vor von 49 k

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