Stetigkeit gebrochen rationaler Funktionen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die folgenden Funktionen stetig sind, und geben Sie falls nicht alle
Unstetigkeitsstellen an.

$$i) f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { 0 } & { \text { für } x = 1 } \\ { \frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - x - 1 } { x - 1 } } & { \text { für } x \neq 1 } \end{array} \right.$$

$$ii) g : ] - 1,1 \left[ \rightarrow \mathbb { R } , g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \frac { 1 } { 2 } } & { \text { für } x = 0 } \\ { \frac { 1 - \sqrt { 1 - | x | } } { x } } & { \text { für } x \neq 0 } \end{array} \right.\right.$$

Problem/Ansatz:
Ich finde leider im Skript keine vernünftige Erklärung dazu und bin mir nicht sicher ob ich die Erklärungen aus dem Internet so verstehe. Hab zwar ein bisschen überlegt (Polynomdivision oder dann das Kürzen des Bruchs), aber es macht einfach nicht Klick

(Bei g ist es ]-1,1[, die Klammern sind nur sehr komisch gesetzt)

Answer 1

i)  Für x≠1 ist f aufgrund der einschlägigen Sätze überall stetig.

Besonders einfach nach Polynomdivision

f(x) = x^2 + 2x +1 .

Für x gegen 1 hat f also den Grenzwert 4, aber f(1) ist als 0

definiert. Also f bei x=1 nicht stetig.

ii) Bei g ist das einzige Problem x=0.

Hier musst du untersuchen, ob der Bruch für x gegen 0 einen

Grenzwert hat. Dazu:

$$ \frac { 1 - \sqrt { 1 - | x | } } { x } $$

erweitern mit

$$  1 + \sqrt { 1 - | x |}  $$

gibt

$$ \frac { (1 - \sqrt { 1 - | x | })*(1 + \sqrt { 1 - | x | }) } { x*(1 + \sqrt { 1 -| x | }) } $$

$$= \frac { 1 - (1 - | x |)} { x*(1 + \sqrt { 1 -| x | }) }  $$

$$= \frac { | x |) } { x*(1 + \sqrt { 1 - | x | }) }  $$

und in der Form kann man die Grenzwerte bestimmen:

Für x<0 kann man |x| mit x kürzen und hat -1, also

$$ \frac {   -1 } { 1 +\sqrt { 1 - | x | } }  $$

und für x gegen 0 geht das gegen -1/2.

Für x>0 kann man |x| mit x kürzen

 $$ \frac {   1 } { 1 +\sqrt { 1 - | x | } }  $$

und für x gegen 0 geht das gegen +1/2.

Da rechts- und linksseitiger Grenzwert verschieden

sind:    f nicht stetig bei x=0.

Comments

Dankeschön!

Und wie würde ich das mit dem linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert bei der i) zeigen? Habe leider das erste Mal damit zu tun und werde nicht so recht schlau aus den Erklärungen im Internet. Ich kann doch nicht einfach x = -x setzen, wenn es kein |x| in der Gleichung gibt? Oder kann ich einfach sagen, dass das so ist, dann komme ich mit dem linksseitigen Limes an 0 (-x² - 2x + 1 mit x=1 = 0) und rechtsseitig an 4 und es ist trotzdem nicht stetig?
Mein Tutor, mit dem ich geschrieben hatte, meinte, ich soll mich von links und rechts annähern, verstehe nur nicht, wie genau ich das ohne ein |x| handhaben soll.

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Mein Tutor, mit dem ich geschrieben hatte, meinte, ich soll mich von links und rechts annähern,

Gute Idee.

Du hast doch für x≠1 den Term:

f(x) =  x^2 + 2x +1 .

Egal ob du dich von rechts oder von links annäherst,

es geht immer gegen 4.

Also Rechts- und Linkslimes sind beide 4,

aber der Funktionswert nicht.

Manche machen das mit der beidseitigen Annäherung auch

so, dass sie f(1+h) und f(1-h) betrachten für positives h gegen 0.

Aber auch da kommt als Grenzwert beide Male 4 heraus.

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Also bedeutet das, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert zwar gleich ist, aber da 4 ≠ 1 ist, wodurch aber f(1) definiert ist, ist die Funktion dennoch nicht stetig?

Dankeschön!