Bilden diese 3 Vektoren eine Basis im Q3 oder nicht ?

Question

Aufgabe:

Es seien die folgenden Vektoren im Q³ gegeben:

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis des Q³

Answer 1

Bestimme $\lambda_1$, $\lambda_4$ und $\lambda_5$ in der Gleichung

        $\lambda_1v_1 + \lambda_4v_4 + \lambda_5v_5 = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$.

$\left\{v_1,v_4,v_5\right\}$ ist genau dann eine Basis von $\mathbb{Q}^3$, wenn es eine eindeutige Lösung gibt.

Comments

Was soll denn der Vektor auf der rechten Seite sein?

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Eine Menge M ist eine Basis eines Vektorraumes V, wenn sich jedes v∈V eindeutig als Linearkombination von Vektoren aus M darstellen lässt. Der Vektor auf der rechten Seite ist genau dieses v.

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Ja, aber es würde genügen, wenn rechts der Nullvektor steht.

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Dazu benötigt man Einsichten über die Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen, die ich in meiner Antowort nicht voraussetzen wollte.

Answer 2

Alternative, falls du Determinanten verwenden darfst:

Schreibe die 3 fraglichen Vektoren nebeneinander in eine Matrix und berechne die Determinante dieser Matrix.

Die Vektoren bilden genau dann eine Basis des Q³, wenn die Determinante nicht Null ist.