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u=(2,-2,0)T

v=(-4,4,5)T

w=(α,1,0)T

α soll so bestimmt werden, das die Vektoren eine Basis im R3 bilden.

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1 Antwort

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Drei Vektoren aus R 3 bilden eine Basis des R 3 , wenn sie linear unabhängig, also nicht linear abhängig sind.

Die Vektoren u , v , w sind linear abhängig, wenn es zwei Zahlen r und s ∈ R gibt, die nicht beide gleich Null sind, sodass gilt:

r * u + s * v = w

Dies führt auf folgendes Gleichungsystem:

2 r - 4 s = α

- 2 r + 4 s = 1

0 r + 5 s = 0

Aus der dritten Gleichung folgt sofort:

s = 0

Damit folgt aus der zweiten Gleichung:

r = - 1 / 2 

r und s eingesetzt in die erste Gleichung ergibt:

- 1 - 0 = α

Also:

Für α = - 1 sind u, v und w linear abhängig.
Für alle anderen Werte von alpha hingegen bilden sie eine Basis des R 3

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Gilt das Gleiche für R4 ? Also ich habe 4 Vektoren:  u,v,w,x

r * u + s * v + t * w = x

Wenn dies der Fall ist sind sie linear abhängig?

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