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Hallo zusammen

ich habe bei folgender Beweiaufagbe Probleme:

F2n=Fn(Fn+1+Fn-1)

Ich habe als Idee eine vollständige Induktion über n durchzuführen.

Den Induktionsanfang habe ich mit n=1 leicht hin bekommen.

F2=F1(F2+F0)=1(1)=1

Dennoch scheitere ich nun am Induktionsschritt. Kann mir da jemand behilflich sein?

Danke für eure Hilfe

von

Wie habe ihr den die Fn definiert ?

F0=1

F1=1

F2=2

F3=3


meist du diese definition?

Vom Duplikat:

Titel: Aufgabe zu Fibonacci Zahlen

Stichworte: fibonacci

Hallo, es geht hier um die Fibonacci Zahlen. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Zeigen Sie F2n = Fn(Fn+1 + Fn−1).

Die Frage ist hier bereits beantwortet.

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Hallo Klinei,

F0=1, F1=1, F2=2, F3=3

eher nicht! Dann stimmt schon Dein Induktionsanfang nicht. Besser:$$F_0=0, \, F_1=1, \, F_2=1, \, F_3=2, \, F_4= 3\, \dots$$Es soll gezeigt werden, dass$$F_{2(n+1)} = F_{n+1}(F_{n+2} + F_{n})$$Hier brauchen wir einen doppelten Induktionsanfang. Es ist sowohl $$F_2 = F_1(F_2+F_1) = 1 \cdot(1 + 0) = 1$$als auch $$F_4 = F_2(F_3 + F_1) = 1 \cdot (2 + 1) = 3$$Wir haben also für die ersten zwei auf einander folgender Werte für \(n\) gezeigt, dass die Formel korrekt ist.

Bevor es zum Induktionsschritt kommt, will ich noch zeigen, dass $$F_{2(n+2)} = 3F_{2(n+1)} - F_{2n}$$ es ist $$\begin{align} F_{2(n+1)}&= F_{2n+1} + F_{2n} \\ \implies F_{2n+1} &=F_{2(n+1)} - F_{2n} \\ F_{2(n+2)} &= F_{2n+3} + F_{2(n+1)} \\ &= F_{2(n+1)} + F_{2n+1} + F_{2(n+1)}  \\ &= 2 F_{2(n+1)} + F_{2(n+1)} - F_{2n} \\ &= 3 F_{2(n+1)}  - F_{2n} \end{align}$$und für die beiden Vorgänger setze ich nun die Voraussetzung aus dem (doppelten) Induktionsanfang ein:$$ \begin{align} F_{2(n+2)} &= 3F_{n+1}(F_{n+2} + F_{n}) - F_{n}(F_{n+1} + F_{n-1}) \\ &= 3 F_{n+2} F_{n+1} + 2F_{n+1}F_n -F_nF_{n-1} \\ &= 3 F_{n+2} F_{n+1} + F_{n+1}F_n + F_n(F_{n+1} -F_{n-1}) \\ &= 3 F_{n+2} F_{n+1} + F_{n+1}F_n + F_n^2 \\ &= 3F_{n+2} F_{n+1} + F_n(F_{n+1}+ F_n) \\ &= 3F_{n+2} F_{n+1} + F_n F_{n+2} \\ &= 3F_{n+2} F_{n+1} + F_n F_{n+2}  \\ &= F_{n+2} (3F_{n+1} + F_n)  \\ &= F_{n+2} (2F_{n+1} + F_{n+2}) \\ &= F_{n+2} (F_{n+3} + F_{n+1}) \quad \text{q.e.d.}\end{align}$$Gruß Werner

von 19 k

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