Matrix A R^2x2 Beweis genau dann wenn

Question

Aufgabe:

Es sei A ∈ ℝ^2x2. Zeige dass genau dann A^T * A = A * A^T gilt, wenn A = \( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) mit a,b ∈ ℝ

oder A =\( \begin{pmatrix} a & b \\ b & c \end{pmatrix} \) mit a,b,c ∈ ℝ.

Problem/Ansatz:

leider fällt es mir schwer einen Ansatz bei dieser Aufgabe zu finden. Würde mir jemand  einen kleinen Tipp geben kann, wie ich vorgehen muss?

Vielen Dank

Comments

Wir haben genau diesselbe Aufgabe gestellt bekommen, nur steht bei uns noch dazu:

"Nutze x² = y²  ⇔ ( x = y  ∨ x =  -y) und z*x = z*y ⇔ ( x = y ∨  z = 0)"

Ich verstehe nicht, inwie weit das jetzt mit der Aufgabenstellung und dem Beweis, den Wolfgang gezeigt hat, zusammenhängt?

Unser Tutor bestand darauf, dass wir den Beweis über die oben beschriebene Darstellung fühen sollen.

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Habe im Nachtrag zu meiner Antwort deine Bedingungen benutzt, um festzustellen, welche Bedingungen die Elemente von A erfüllen müssen, damit  A^T * A = A * A^T  gilt.

Answer 1

Sei   A  =  ⎡ r  s ⎤
                ⎣ u  v ⎦

A * A^T   =     ⎡ r  s ⎤  *  ⎡ r  u ⎤      =    ⎡  r² + s²       r·u + s·v ⎤
                    ⎣ u  v ⎦     ⎣ s  v ⎦           ⎣ r·u + s·v       u² + v²  ⎦

A^T * A   =     ⎡ r  u ⎤  *  ⎡ r  s ⎤      =    ⎡  r² + u²       r·s + u·v ⎤                
                    ⎣ s  v ⎦     ⎣ u  v ⎦           ⎣ r·s + u·v       s² + v²  ⎦

Prüfe, unter welchen die Bedingungen die beiden Matrizen rechts außen übereinstimmen:

Nachtrag:

r² + s²  = r² + u²    ⇔  s = ± u   

Für s = u ist man fertig, denn alle Elemente der beiden Matrizen stimmen überein.

       mit r =: a,  v =:.c  und  u = s =: b  ergibt sich die Matrixform 2 der Aufgabenstellung 

Für s = - u  beachtet man zusätzlich  ru - uv = - ru + uv  ⇔  2ru = 2uv  ⇔  r = v oder u = 0

      mit  r = v =: a  und  s =: b  ergibt sich die Matrixform 1 der Aufgabenstellung  

Gruß Wolfgang

Comments

Wie kommst du auf r,s, u und v.

Die Matrix A hat ja nur die Werte (a, b, -b, a).

Das funktioniert nur, wenn r = v und s = u wäre. Also nur im Ausnahmefall.

Weil a ist bei dir ja r

und b ist bei dir s.

Da -b bei dir u ist, wäre s = u. Das ist aber nicht immer so.

Oder erzähl ich grad Kakolores?

Warum arbeitest du mit 4 Paramenter, wenn nur 3 in der Aufgabenstellung definiert sind?

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Wie kommst du auf r,s, u und v.

Ich gehe ja von einer beliebigen Matrix aus.

a,b und c sind aber für die speziellen Matrixformen in der Aufgabenstellung schon vergeben.

Deine  Matrixform  2 ergibt sich für   r = a,   u = s = b  und v = c

Deine  Matrixform  1  ergibt sich für    r = v = a ,  u = - b  und s = b    

Warum arbeitest du mit 4 Paramenter, wenn nur 3 in der Aufgabenstellung definiert sind?

Wie gesagt:  Die Matrix muss erst einmal beliebig gehalten werden. Übereinstimmung bei verschiedenen Matrixelementen mit Bezug auf  A^T * A = A * A^T muss ja erst einmal festgestellt werden.

Oder erzähl ich grad Kakolores?

(Variablen-)Namen sind Schall und Rauch :-)

Zu Beginn weiß man ja noch nicht, ob irgendwelche Zahlen in der Matrix übereinstimmen. Das soll man ja gerade aus A * A^T = A^T * A herleiten.

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Danke schön.

Gruß matrix97

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Auch von mir nochmal herzlichen dank für die ausführliche Darstellung. :)

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immer wieder gern :-)