Beziehung dreier Folgen und Grenzwerte derer

Question

Aufgabe:

Es sei \(a>0\), sowie für \(n\in\mathbb{N}\) sei

\(x_n=\sqrt{n+a}-\sqrt{n}\) , \(y_n=\sqrt{n+a\sqrt{n}}-\sqrt{n}\) , \(z_n=\sqrt{n+an}-\sqrt{n}\).

a) Beweisen Sie, dass für \(n>a^2\) gilt \(x_n<y_n<z_n\).

b) Beweisen Sie \(\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0\) ,  \(\lim\limits_{n\to\infty}y_n=\frac{a}{2}\) , \(\lim\limits_{n\to\infty}z_n=\infty\).

Problem/Ansatz:

a) Meine Überlegung ist, dass \(y_n-x_n>0\) und \(z_n-y_n>0\) gelten muss.

\((i) \sqrt{n+a\sqrt{n}}-\sqrt{n}-\sqrt{n+a}+\sqrt{n}=\sqrt{n+a\sqrt{n}}-\sqrt{n+a}>0\), weil \(a\sqrt{n}>a\) für \(n>1\).

\((ii) \sqrt{n+an}-\sqrt{n}-\sqrt{n+a\sqrt{n}}+\sqrt{n}=\sqrt{n+an}-\sqrt{n+a\sqrt{n}}>0\), weil \(an>a\sqrt{n}\) für \(n>1\).

Mein Problem hierbei ist, dass ich es nur für \(n>1\) gezeigt habe und nicht für alle \(n\in\mathbb{N}\). Gibt es noch einen anderen (besseren?) Weg das zu zeigen, wobei auch \(n>a^2\) verwendet wird?

b) \((i)\) Sei \(ε>0.\) \(|x_n-x|=|\sqrt{n+a}-\sqrt{n}-0|=|\sqrt{n+a}-\sqrt{n}|=...<ε\)

Hier weiß ich leider nicht weiter und bei (ii), (iii) sieht es genau so aus. Hat da jemand ein paar Ansätze für mich?

Answer 1

a) passt so.

b) \(\displaystyle(i)\ x_n=\sqrt{n+a}-\sqrt n\)

\(\displaystyle=\frac{(\sqrt{n+a}-\sqrt n)(\sqrt{n+a}+\sqrt n)}{\sqrt{n+a}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle=\frac a{\sqrt{n+a}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}0\)

\(\displaystyle(ii)\ y_n=\sqrt{n+a\sqrt n}-\sqrt n\)

\(\displaystyle=\frac{(\sqrt{n+a\sqrt n}-\sqrt n)(\sqrt{n+a\sqrt n}+\sqrt n)}{\sqrt{n+a\sqrt n}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle=\frac {a\sqrt n}{\sqrt{n+a\sqrt n}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle=\frac {an}{n+a\sqrt n+2\sqrt{n^2+an\sqrt n}+n}\)

\(\displaystyle=\frac{a}{2+\dfrac1{\sqrt n}+\dfrac{2\sqrt{n^2+an\sqrt n}}n}\)

\(\displaystyle\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac a2\)

\(\displaystyle(iii)\ z_n=\sqrt{n+an}-\sqrt n\)

\(\displaystyle=\frac{(\sqrt{n+an}-\sqrt n)(\sqrt{n+an}+\sqrt n)}{\sqrt{n+an}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle=\frac{an}{\sqrt{n+an}+\sqrt n}\)

\(\displaystyle=\frac a{\dfrac1{\sqrt n}\cdot\dfrac{\sqrt{1+a}}n+\dfrac1{\sqrt n}}\)

\(\displaystyle=\frac{\sqrt n\cdot na+\sqrt na}{\sqrt{1+a}}\)

\(\displaystyle\overset{n\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\infty\)

Comments

Danke. EDIT: In Antwort umgewandelt.