Differentialgleichung lösen bei exponentieller Abnahme

Question

Aufgabe:

Der Luftdruck p nimmt mit zunehmender Höhe h ab. Geht man von einem Luftdruck 1013mbar an der Erdoberfläche aus, so beschreibt die Differentialgleichung p'(h)=-0,0001251*p(h) mit h in Metern ü NN und p in mbar die momentane Änderungsrate des Luftdrucks.

Bestimme eine Lösung der Differentialgleichung. Wie groß ist der Luftdruck in 1498m Höhe?

In welcher Höhe beträgt der Luftdruck 500mbar?

Herr China hat im Internet recherchiert, dass der Luftdruck sich pro 5km Höhenzunahme halbiert. Überprüfe das!

Problem/Ansatz:

Ich bin mir bei den Lösungsschritten hier noch ziemlich unsicher, ich denke man muss mit f(0)=1013 starten um die Differentialgleichung lösen zu können? Wäre schön wenn das jemand, der sich da sicher ist, das nochmal aufschreiben würde.

Zudem habe ich ziemlich Probleme mit der 3. Teilaufgabe, finde bisher keinen Ansatz um das überprüfen zu können...

Answer 1

Hallo

y'=a*y von dem Typ ist deine Dgl.

2 Wege: entweder weiss man, dass nur die e-funktion C*eax bis auf eine Konstante mit ihrer Ableitung übereinstimmt also (C*eax)'=C*a*e ax

oder man schreibt dy/dx=a*y daraus dy/y=a*dx und integriert auf beiden Seiten. die Anfangsbedingung setzt man dann ein um C zu bestimmen. dein y heisst p dein x heisst h, dein a=-0,000125

Gruß  lul