Antwort mit KI erzeugt
Teil a: Zeigen, dass die Vereinigung S=∪i∈IAi auch eine Partition der Menge A ist.
Um zu zeigen, dass
S eine Partition von
A ist, müssen wir verifizieren, dass folgende Bedingungen erfüllt werden:
1. Jedes Element von
A befindet sich in mindestens einem Element von
S.
2. Alle Elemente von
S sind nicht leer.
3. Die Schnittmenge zweier unterschiedlicher Mengen in
S ist leer.
4. Die Vereinigung aller Mengen in
S ergibt
A.
Für 1: Da
Ai eine Partition von
Ai ist, enthält es jedes Element von
Ai in genau einer Untergruppe. Da
A ebenfalls eine Partition von
A ist und jedes
Ai enthält, folgt daraus, dass
S, die Vereinigung aller
Ai, jedes Element von
A enthält.
Für 2: Alle
Ai sind Partitionen und damit per Definition nicht leer. Folglich sind auch alle Elemente von
S – als Vereinigungen dieser Partitionen – nicht leer.
Für 3: Angenommen, zwei unterschiedliche Mengen in
S, sagen wir
Ai,j und
Ak,l, hätten eine nicht-leere Schnittmenge. Da
Ai und
Ak Partitionen sind, wäre dies nur dann möglich, wenn
i=k und
j=l, was gegen die Definition von Partitionen verstößt, da alle Elemente innerhalb einer Partition unterschiedlich und disjunkt sein müssen.
Für 4: Da
Ai die Partition von
Ai ist und die Vereinigung aller
Ai in
A die Menge
A ergibt, folgt, dass die Vereinigung aller Partitionen von jedem
Ai, also
S, die gesamte Menge
A umfasst.
Teil b: Bestimmen der Partition S für A={1,2,…,14}
Schritt 1: Identifikation der Partition
A.
Da
A eine Partition von
A bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 ist, haben wir drei Indexsets:
I={0,1,2}.
-
A0={3,6,9,12}
-
A1={1,4,7,10,13}
-
A2={2,5,8,11,14}
Schritt 2: Erstellung von
Ai für jedes
i.
Jedes
Ai wird in gerade und ungerade Zahlen partitiert, also
Ji={"gerade","ungerade"}.
- Für
A0: Da alle Zahlen durch 3 teilbar und damit durchgehend gerade sind, haben wir hier keine Aufteilung in gerade und ungerade im klassischen Sinne, aber zum Zweck dieser Aufgabe könnte die Partitionierung als Einzelmengen betrachtet werden (obwohl alle Elemente als "gerade" betrachtet werden).
- Für
A1 und
A2 erfolgt die Partitionierung in gerade und ungerade Zahlen.
Endresultat,
S umfasst:
- Von
A0: Keine Aufteilung, da alle Zahlen gerade sind.
- Von
A1: Eine Partition in ungerade Zahlen
{1,7,13} und eine für
{4,10}.
- Von
A2: Eine Partition in gerade Zahlen
{2,8,14} und eine für
{5,11}.
Zusammengefasst,
S besteht aus:
-
{3,6,9,12}
-
{1,7,13}
-
{4,10}
-
{2,8,14}
-
{5,11}
Jede dieser Mengen ist eindeutig durch ihre Elemente definiert, keine ist leer, sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt die ursprüngliche Menge
A, womit bestätigt wird, dass
S eine gültige Partition von
A ist.