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Sei A={AiiI} \mathcal{A}=\left\{A_{i} | i \in I\right\} eine Partition der Menge A A und Ai={Ai,jjJi} \mathcal{A}_{i}=\left\{A_{i, j} | j \in J_{i}\right\} eine Partition der Menge Ai A_{i} für jedes iI i \in I
a) Zeigen Sie, dass die Vereinigung S=iIAi \mathcal{S}=\cup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} auch eine Partition der Menge A A ist. Das ist nicht schwer - der anspruchvollste Teil der Aufgabe besteht darin, alles auf die Definitionen kurück zu führen und sich zu überlegen, welche Punkte denn eigentlich zu beweisen sind. Wenn Sie sich darüber nicht klar sind, lösen Sie zuerst Teil b.
b) Sei A={1,2,,14} A=\{1,2, \ldots, 14\} unh A \mathcal{A} die Partition von A A bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 (beschreiben Sie selbst I I und die Mengen Ai A_{i} ). Im zweiten Schritt beschreibt Ai \mathcal{A}_{i} jeweils die Partition von Ai A_{i} in gerade und ungerade Zahlen. Auch hier sind geeignete Indexmengen Ji J_{i} zu finden. Bestimmen Sie jetzt die Partition S=iIAi \mathcal{S}=\bigcup_{i \in I} \mathcal{A}_{i}

Brauche hier Lösungsansätze bzw. Vorschläge.

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Teil a: Zeigen, dass die Vereinigung S=iIAi \mathcal{S}=\cup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} auch eine Partition der Menge A A ist.

Um zu zeigen, dass S \mathcal{S} eine Partition von A A ist, müssen wir verifizieren, dass folgende Bedingungen erfüllt werden:
1. Jedes Element von A A befindet sich in mindestens einem Element von S \mathcal{S} .
2. Alle Elemente von S \mathcal{S} sind nicht leer.
3. Die Schnittmenge zweier unterschiedlicher Mengen in S \mathcal{S} ist leer.
4. Die Vereinigung aller Mengen in S \mathcal{S} ergibt A A .

Für 1: Da Ai \mathcal{A}_{i} eine Partition von Ai A_{i} ist, enthält es jedes Element von Ai A_{i} in genau einer Untergruppe. Da A \mathcal{A} ebenfalls eine Partition von A A ist und jedes Ai A_{i} enthält, folgt daraus, dass S \mathcal{S} , die Vereinigung aller Ai \mathcal{A}_{i} , jedes Element von A A enthält.

Für 2: Alle Ai \mathcal{A}_{i} sind Partitionen und damit per Definition nicht leer. Folglich sind auch alle Elemente von S \mathcal{S} – als Vereinigungen dieser Partitionen – nicht leer.

Für 3: Angenommen, zwei unterschiedliche Mengen in S \mathcal{S} , sagen wir Ai,j A_{i,j} und Ak,l A_{k,l} , hätten eine nicht-leere Schnittmenge. Da Ai \mathcal{A}_{i} und Ak \mathcal{A}_{k} Partitionen sind, wäre dies nur dann möglich, wenn i=k i=k und jl j \neq l , was gegen die Definition von Partitionen verstößt, da alle Elemente innerhalb einer Partition unterschiedlich und disjunkt sein müssen.

Für 4: Da Ai \mathcal{A}_{i} die Partition von Ai A_{i} ist und die Vereinigung aller Ai A_{i} in A \mathcal{A} die Menge A A ergibt, folgt, dass die Vereinigung aller Partitionen von jedem Ai A_{i} , also S \mathcal{S} , die gesamte Menge A A umfasst.

Teil b: Bestimmen der Partition S \mathcal{S} für A={1,2,,14} A=\{1,2, \ldots, 14\}

Schritt 1: Identifikation der Partition A \mathcal{A} .

Da A \mathcal{A} eine Partition von A A bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 ist, haben wir drei Indexsets: I={0,1,2} I = \{0, 1, 2\} .
- A0={3,6,9,12} A_{0} = \{3, 6, 9, 12\}
- A1={1,4,7,10,13} A_{1} = \{1, 4, 7, 10, 13\}
- A2={2,5,8,11,14} A_{2} = \{2, 5, 8, 11, 14\}

Schritt 2: Erstellung von Ai \mathcal{A}_{i} für jedes i i .

Jedes Ai A_{i} wird in gerade und ungerade Zahlen partitiert, also Ji={"gerade","ungerade"} J_{i} = \{\text{"gerade"}, \text{"ungerade"}\} .
- Für A0 A_{0} : Da alle Zahlen durch 3 teilbar und damit durchgehend gerade sind, haben wir hier keine Aufteilung in gerade und ungerade im klassischen Sinne, aber zum Zweck dieser Aufgabe könnte die Partitionierung als Einzelmengen betrachtet werden (obwohl alle Elemente als "gerade" betrachtet werden).
- Für A1 A_{1} und A2 A_{2} erfolgt die Partitionierung in gerade und ungerade Zahlen.

Endresultat, S \mathcal{S} umfasst:

- Von A0 A_{0} : Keine Aufteilung, da alle Zahlen gerade sind.
- Von A1 A_{1} : Eine Partition in ungerade Zahlen {1,7,13} \{1, 7, 13\} und eine für {4,10} \{4, 10\} .
- Von A2 A_{2} : Eine Partition in gerade Zahlen {2,8,14} \{2, 8, 14\} und eine für {5,11} \{5, 11\} .

Zusammengefasst, S \mathcal{S} besteht aus:
- {3,6,9,12} \{3, 6, 9, 12\}
- {1,7,13} \{1, 7, 13\}
- {4,10} \{4, 10\}
- {2,8,14} \{2, 8, 14\}
- {5,11} \{5, 11\}

Jede dieser Mengen ist eindeutig durch ihre Elemente definiert, keine ist leer, sie sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt die ursprüngliche Menge A A , womit bestätigt wird, dass S \mathcal{S} eine gültige Partition von A A ist.
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