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Sei \( \mathcal{A}=\left\{A_{i} | i \in I\right\} \) eine Partition der Menge \( A \) und \( \mathcal{A}_{i}=\left\{A_{i, j} | j \in J_{i}\right\} \) eine Partition der Menge \( A_{i} \) für jedes \( i \in I \)
a) Zeigen Sie, dass die Vereinigung \( \mathcal{S}=\cup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} \) auch eine Partition der Menge \( A \) ist. Das ist nicht schwer - der anspruchvollste Teil der Aufgabe besteht darin, alles auf die Definitionen kurück zu führen und sich zu überlegen, welche Punkte denn eigentlich zu beweisen sind. Wenn Sie sich darüber nicht klar sind, lösen Sie zuerst Teil b.
b) Sei \( A=\{1,2, \ldots, 14\} \) unh \( \mathcal{A} \) die Partition von \( A \) bezüglich der Reste beim Teilen durch 3 (beschreiben Sie selbst \( I \) und die Mengen \( A_{i} \) ). Im zweiten Schritt beschreibt \( \mathcal{A}_{i} \) jeweils die Partition von \( A_{i} \) in gerade und ungerade Zahlen. Auch hier sind geeignete Indexmengen \( J_{i} \) zu finden. Bestimmen Sie jetzt die Partition \( \mathcal{S}=\bigcup_{i \in I} \mathcal{A}_{i} \)

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