Integral Flächenberechnung im Intervall [0;2]

Question

Aufgabe:

f(x) = x²- x + 1

Problem/Ansatz:

Meine Tochter geht in die 11. Klasse und mir fehlt ein Ansatz zur Erklärung der Aufgabe. Ich weiß, das Ergebnis ist 8/3.

Es wäre schön wenn sie mir helfen könnten.

Herlichen Dank

Answer 1

Hi,

wenn bekannt ist, dass gilt:

$$f(x) = x^n$$

$$F(x) = \int x^n \; dx = \left[\frac{1}{n+1} x^{n+1}\right]$$

dann fehlt nur noch das Wissen, dass man eine Summe auch nach ihren Summanden integrieren kann :).

Es ist also:

$$F(x) = \int_0^2 x^2-x+1 \; dx = \int_0^2 x^2 \; dx- \int_0^2 x\; dx + \int_0^2 1\; dx$$

$$= \left[\frac13 x^3\right]_0^2 - \left[\frac12x^2\right]_0^2 + \left[x\right]_0^2$$

$$= \frac13\cdot2^3 - 0 \quad - \quad \left(\frac12 2^2- 0\right) \quad + \quad 2 - 0 = \frac83$$

Das ist sehr ausführlich und wirst meist deutlich kürzer gemacht, aber des Verständnisses wegen ;).

Oder eben auf einem Rutsch:

$$F(x) = \int_0^2 x^2-x+1 \; dx = \left[\frac13 x^3 - \frac12x^2 + x\right]_0^2$$

$$= \left(\frac13\cdot2^3 - \frac12 2^2 + 2 \right)\quad - \quad 0 = \frac83$$

Grüße

Comments

Herzlichen Dank, das hilft mir weiter.

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Freut mich. Gerne :)

Answer 2

∫(x²-x+1) dx von 0 bis 2

= x³/3 -x²/2 +x in den Grenzen von 0 bis 2

= 8/3 -2 +2 -0 =8/3