Flächenberechnung durch Intervallaufteilung

Question

Gesucht ist der Inhalt der Fläche, welche vom Graphen von f und der x-Achse über dem Intervall [0;4] eingeschlossen wird.

Text erkannt:

\( \frac{f(x)=\sqrt{x}-1}{4 x} \)

Answer 1

f ( x ) = √ x - 1
Nullstelle
√ x - 1 = 0
√ x =  1
x = 1

f ( x ) = x ^(1/2) - 1
Stammfunktion
S ( x ) = x ^(3/2) / (3/2) - x
Fläche zwischen 0 und 1
1 ^(3/2) / (3/2) - 1 - [ 0 ^(3/2) / (3/2) - 0 ]
2/3 - 1 = - 1/3
und das absolut ( Flächen sind immer positiv )
A = 1/3

dasselbe für´s  Intervall 1..4 durchführen

Comments

Könntest du das auch für den Rest machen?

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S ( x ) = x ^(3/2) / (3/2) - x
Fläche zwischen 1 und 4
4 ^(3/2) / (3/2) - 4 - [ 1 ^(3/2) / (3/2) - 1 ]
16 /3 - 4 - [ 2 /3 - 1 ]
4 / 3 - ( - 1 / 3 )
5 / 3

Answer 2

Hallo,

du berechnest zunächst die Nullstelle der Funktion.

Dann bildest du die Stammfunktion und berechnest den Flächeninhalt unterhalb der x-Achse von 0 bis zur Nullstelle und dann das Intervall  von der Nullstelle bis 4. Beide addiert ergeben den gesuchten Flächeninhalt.

Melde dich bitte, wenn du dazu noch Fragen hast.

Comments

Ich hab das jetzt schon eine Weile versucht. Allerdings komme ich nicht darauf. Könnten Sie das bitte vorrechnen?

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Ich fange mit der Nullstelle an:

$$\sqrt{x}-1=0\\\sqrt{x}=1\\x=1$$

Stammfunktion:

$$f(x)=\sqrt{x}-1\\f(x)=x^{\frac{1}{2}}-1\\[15pt] F(x)= \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-x\\\text{oder}\\F(x)=\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-x\\ \text{oder}\\ F(x)=\frac{2}{3}x\sqrt{x}-x$$

Kommst du jetzt alleine weiter?

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ne, irgendwie dennoch nicht.

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Das erste Intervall geht von 0 bis 1, also rechnest du

$$|F(1)-F(0)|=|\frac{2}{3}\sqrt{1^3}-1-(\frac{2}{3}\sqrt{0^3}-0)|=|-\frac{1}{3}|=\frac{1}{3}\text{  oder }0,33$$

So machst du das auch mit F(4) - F(1), dann beide FE addieren.

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bei mir kommt -0.33333 raus. stimmt das?

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Ja, und der der Betrag davon ist 0,33.

Jetzt noch das Intervall von 1 bis vier (zur Kontrolle: 1,67 FE)