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Hallo Leute,

in Lineare Algebra hatten wir zyklische Gruppen. Dazu sollen wir jetzt Aufgaben lösen, aber ich verstehe leider überhaupt nicht, was eine zyklische Gruppe sein soll. In der Vorlesung haben wir das so definiert:

Die Gruppe G heißt zyklisch, falls es ein Element g∈G gibt, so dass <g>=G. (⇔∀x∈G, x=gn, für n∈ℤ) Ein solches Element g∈G heißt erzeugendes Element von G.

Kann mir das bitte einer verständlich erklären? Und was genau heißt <g>?

Danke

Gefragt von

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Stell dir ein regelmässiges k-Eck vor mit dem Zentrum im Koordinatenursprung.

Nun bildet die Menge aller Drehungen um (m*360°)/k ( m Element Z) und die Abbildungsverknüpfung die Gruppe der Drehungen, die das k-Eck in sich selbst überführen. Diese Gruppe nennt man zyklisch.

g: Drehung um 1*360°/k ist ein Beispiel für ein erzeugendes Element dieser Gruppe

(⇔∀x∈G, x=gn, für n∈ℤ)

heisst jetzt, dass jede Drehung xm um  (m*360°)/k geschrieben werden kann als gn  mit n Element Z.

Konkret kann man hier sagen, dass xm = gm gilt.

Selbstverständlich ist das nicht das einzige erzeugende Element von G. Die andern sind aber je nach k verschieden.

Zudem sind gewisse Drehungen gleich, wenn m Element Z zugelassen wird. Man kann hier modulo k rechnen.

 

 <g> ist die von G erzeugte Gruppe. Da wird nur die Schreibweise angegeben.

 

Beantwortet von 144 k

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