Question

Zeigen Sie, dass im Polynomring Z[x] nicht jedes Ideal von einem einzigen Element erzeugt
wird.

Wie gehe ich hier vor?

Habe keine Ahnung

Answer 1

Betrachte z.B. das von dem Polynom x und dem konstanten Polynom 2 erzeugte Ideal I.

Würde dieses Ideal von einem einzigen Element erzeugt, dann müsste dieses sowohl

ein Teiler von 2 als auch von x sein. Das ist aber nur die 1. Aber das von 1 erzeugte

Ideal ist der ganze Ring, wohingegen in I z.B. nicht das Polynom x+1 ist.

Denn in I sind genau alle Polynome, die als konstantes Glied eine

gerade Zahl haben.