Grenzwerte berechnen lim⁡x→0+ \lim\limits_{x\to0+} x \sqrt{x} * ln(x)

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Grenzwert von 
$\lim\limits_{x\to0+}$ $\sqrt{x}$ * ln(x)

Lösung:
Der Grenzwert ist vom Typ 0 * ∞. Er kann in den Typ $\frac{∞}{∞}$ überführt werden, womit L'Hospital anwendbar ist.
$\lim\limits_{x\to0+}$ $\frac{ln(x)}{x^-{\frac{1}{2}}}$  = $\lim\limits_{x\to0+}$ $\frac{1/x}{-\frac{1}{2}x^-{\frac{3}{2}}}$  = $\lim\limits_{x\to0+}$ $\frac{-2}{{x^-{\frac{1}{2}}}}$ = $\lim\limits_{x\to0+}$ -2$x^{{\frac{1}{2}}}$ = 0

Problem/Ansatz:

Der Grenzwert von ln(x) ist doch -∞. Wieso wird das hier einfach ignoriert ?
Ich verstehe die Überführung von 0 * ∞ zu $\frac{∞}{∞}$. Aber nach meinem Verständnis wäre es eigentlich  0 * -∞ was zu $\frac{-∞}{∞}$ überführt werden kann. Dann ist aber die Regel von Hospital gar nicht anwendbar. Diese ist ja nur bei  $\frac{0}{0}$ und $\frac{∞}{∞}$

Answer 1

Wenn man den Faktor -1 ausklammert und nur den Restterm betrachtet, hat man dort den Fall 0*∞.

Comments

Danke für die schnelle Antwort. Die -1 wird dann also einfach ausgeklammert und nicht mehr beachtet. Dann klammere ich immer wenn ich  $\frac{-∞}{∞}$ erhalte, die -1 aus damit ich L'Hospital anwenden darf ?

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Nein, musst du nicht. Das war eher die Begründung dafür., dass man L'Hospital auch bei ∞/-∞ anwenden kann.

Aber eigentlich steckt das auch schon im Fall 0*∞ drin. Man kann sich ja an die 0 sowohl aus positiver als auch aus negativer Richtung annähern. Wenn du 0*(-∞) in -0*∞ umschreibst, hast du diesen sowieso erlaubten Fall.