Binome erkennen: (a+11) * (a-8)

Question

Aufgabe:

$$ ( a + 11) \cdot (a - 8)$$

Problem/Ansatz:

Vermutung: Es handelt sich um die 3. Binomische Formel, weil a^2 - b^2 = (a+b) * (a-b)

$$ \Rightarrow( a + 11) \cdot (a - 8) = a^2 -8a + 11a -88 = a^2 +3a -88 = a(a+3) -88$$

Wie bringe ich dieses Binom nun in die Form a^2 - b^2 ?

Answer 1

(a+11)·(a-8) ist keine binomische Formel (11≠8). Stattdessen hast du ja ausmultipliziert mit dem Resultat: a²+3a-88. Wenn du hier noch eine binomische Formel unterbringen willst, musst du erst die sogenannte quadratische Ergänzung finden: Halbe Vorzahl von a zum Quadrat = (3/2)2 =9/4. Diese musst du erst addieren und dann wieder subtrahieren: a²+3a+9/4-88-9/4. Die ersten drei Summanden bilden dann eine (erste) binomische Formel: (a+3/2)² - 90 - 1/4 = (a+1,5)² - 90,25. Jetzt hast du die Differenz zweier Quadrate: (a+1,5)² und 9,5²= 90,25 und damit die dritte binomische Formel: ((a+1,5)+9,5)·((a+1,5)-9,5)

Comments

Man kann auch erst die Funktion f(x)=(x-8)(x+11) in die Scheitelform bringen. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist die Mitte zwischen den Nullstellen x_s=-1,5 und f(-1,5)=90,25. Der Funktionsterm der Scheitelform (x+1,5)²-90,25 ist die Differenz zweier Quadrate, also Teil der 3. bin. Formel.

Answer 2

Forme z.B. so um:$$(a+11)\cdot(a-8)=\big((a+1{,}5)+9{,}5\big)\cdot\big((a+1{,}5)-9{,}5\big)=(a+1{,}5)^2-9{,}5^2.$$

Comments

Wie hast du das gesehen? Kannst du vielleicht genauer erklären wie du drauf gekommen bist, oder ist das ein instinktiver Lösungsweg?

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Es gilt allgemein :\((a+x)\cdot(a+y)\)$$=\left(a+\frac{x+y}2+\frac{x-y}2\right)\cdot\left(a+\frac{x+y}2-\frac{x-y}2\right)=\left(a+\frac{x+y}2\right)^2-\left(\frac{x-y}2\right)^2.$$

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Die Formel verstehe ich ehrlich gesagt nicht ganz. Was wäre dann das x bezogen auf mein Beispiel? Und die dritte binomische Formel lautet ja (a+b)*(a-b) und ich verstehe nicht was das mit der Formel (a+x)*(a+y) zu tun haben soll. Könntest du mir genauer erklären was die Formel aussagen soll? Denn die sieht eigentlich ziemlich interessant aus verstehe die bloß nicht worauf du genau hinaus willst.