Integralrechnung: Ermitteln Sie ∫011 f(x) dx anhand des dargestellten Graphen

Question

Aufgabe:

Ermitteln Sie $\int \limits_{0}^{11} f(x) d x$ anhand des dargestellten Graphen:

Ich verstehe nicht wie ich da den Funktionsterm ermitteln soll.

Answer 1

Ich verstehe nicht wie ich da den Funktionsterm ermitteln soll.

Das sollst du nicht. Du sollst das Integral ermitteln.

Zur Erinnerung, das ist der "orientierte Flächeninhalt" zwischen Graph und x-Achse.

Orientierter Flächeninhalt bedeutet, dass wenn der Graph unterhalb der x-Achse verläuft, der entsprechende Flächeninhalt mit negativem Vorzeichen in das Integral einfließt.

1. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Eckpunkten (0|0), (2|-4) und (3|0). Bilde die Gegenzahl.
   
2. Berechne den Flächeninhalt des Trapezes mit den Eckpunkten (3|0), (11|0), (11|4) und (4|4). Bilde die Gegenzahl.
   
3. Addiere die beiden Teile.

Ergebnis ist das gesuchte Integral.

Übrigens, die Funktionsgleichung lautet

$f(x) = \begin{cases} -2x&\text{falls } 0\leq x\leq 2 \\ 4x-8 &\text{falls } 2 \lt x \leq 4 \\ 4 &\text{falls } 4 \lt x \leq 11 \end{cases}$.

Das ist eine sogenannte abschnittsweise definierte Funktion.

Comments

Das wäre die Musterlösung:

$\int \limits_{-4}^{4} f(x) d x=-1+3+\frac{9}{2}-\frac{3}{2}-2=0$

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Das ist nicht die passende Musterlösung zu der Aufgabe in deiner Frage. Die Funktion in deiner Frage ist für -4 ≤ x < 0 überhaupt nicht definiert.

Answer 2

ich vermute, dass du die Funktion gar nicht herausfinden sollst, sondern den Graphen in Teilabschnitte unterteilen und diese dann mit den bekannten Formeln berechnen.

Beispielsweise von 4-11

Das bildet ein Rechteck der Länge 7 und der Höhe 4

Das Integral in den Grenzen wäre dann: 28

So kannst du bei dem Rest auch vorgehen. Es empfiehlt sich, den Rest in 3 Dreiecke zu unterteilen, bzw. in Rechtecke ausrechnen und diese dann halbieren.

EDIT: das Integral im Intervall I=[2;4] ergibt 0. Also muss nur noch das Integral im Intervall I=[0;2] berechnet werden

Gruß

Smitty

Answer 3

Die als Graph dargestellte Funktion ist (nur) abschnittsweise definiert:

0<x<2   f(x)= - 2x

2<x<4   f(x)=4x-12

4<x<11 f(x)=4

Die Integration erfolgt ebenfalls abschnittsweise. Es geht aber auch elementargeometrisch.

Answer 4

Da es sich um Übungen zu den Grundkompetenzen der Integralrechnung handelt, wäre ein möglicher Lösungsweg dieser hier: $$\int_{0}^{11}f(x)\text{ d}x = \\ \int_{0}^{2}f(x)\text{ d}x + \int_{2}^{4}f(x)\text{ d}x + \int_{4}^{11}f(x)\text{ d}x = \\ -4+0+28 = \\ 24.$$Die von dir mitgeteilte "Musterlösung" passt allerdings gar nicht zur vorgelegten Aufgabe.